a는 양수이고 b는 자연수이다 0≤x≤2에서 (cos(bπx)-1/2)(a cos(bπx)+(a+2)/2)=0의 서로 다른 실근 개수는 15이다 cos(bπx)=1/2 또는 cos(bπx)=-1/2-1/a로 나누어 교점 개수를 센다 0≤x≤2에서 cos(bπx)는 정확히 b주기 반복된다

6월 모의고사 수학 14번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 수학 14번 풀이 | 코사인 그래프와 실근 개수

정답

③

핵심 요약

두 인수를 각각 코사인 그래프와 수평선의 교점으로 읽는다. y=1/2는 한 주기당 2개, 두 번째 수평선은 c=-1일 때만 1개가 되어 3b=15, a=2, b=5이다.

들어가기 앞서…

이 문제는 삼각방정식을 하나씩 풀어 해를 나열하는 방식으로 접근하면 길어진다. 식이 이미 두 인수의 곱으로 되어 있으므로, 먼저 코사인 그래프와 두 수평선의 교점 개수로 바꾸는 것이 핵심이다.

전체 실근 수가 $15$ $15$라는 홀수 조건도 중요하다. 첫 번째 수평선은 한 주기마다 항상 해를 $2$ $2$개 만들기 때문에, 두 번째 수평선이 한 주기에서 홀수 개의 교점을 만들어야 한다.

문제

문제 텍스트 객관식

양수 $a$ $a$와 자연수 $b$ $b$에 대하여 $0\le x\le2$ $0\le x\le2$일 때 $x$ $x$에 대한 방정식

\left(\cos(b\pi x)-\frac12\right)\left(a\cos(b\pi x)+\frac{a+2}{2}\right)=0

의 서로 다른 실근의 개수는 $15$ $15$이다. $a+b$ $a+b$의 값은?

① $6$ $6$
② $\frac{13}{2}$ $\frac{13}{2}$
③ $7$ $7$
④ $\frac{15}{2}$ $\frac{15}{2}$
⑤ $8$ $8$

정답

③

풀이

곱이 0인 식을 두 수평선으로 나눈다

주어진 식은 두 인수의 곱이 $0$ $0$인 방정식이다. 따라서 다음 두 방정식 중 하나가 성립해야 한다.

\cos(b\pi x)=\frac12

또는

a\cos(b\pi x)+\frac{a+2}{2}=0

두 번째 식을 정리하면 다음과 같다.

\cos(b\pi x)=-\frac{a+2}{2a}=-\frac12-\frac1a

두 번째 수평선의 높이를

c=-\frac12-\frac1a

라고 두자. $a>0$ $a>0$이므로 $\frac1a>0$ $\frac1a>0$이고, 따라서 항상 $c<-\frac12$ $c<-\frac12$이다.

구간 0≤x≤2에서 b주기가 반복된다

$0\le x\le2$ $0\le x\le2$에서 각 $b\pi x$ $b\pi x$는 $0$ $0$부터 $2b\pi$ $2b\pi$까지 움직인다. 코사인의 주기는 $2\pi$ $2\pi$이므로 이 구간에서 $y=\cos(b\pi x)$ $y=\cos(b\pi x)$는 정확히 $b$ $b$주기 반복된다.

먼저 첫 번째 수평선 $y=\frac12$ $y=\frac12$를 보자. 코사인 그래프 한 주기에서 $y=\frac12$ $y=\frac12$와 만나는 점은 $2$ $2$개이다. 따라서 첫 번째 인수에서 나오는 해는 전체 구간에서 $2b$ $2b$개이다.

코사인 한 주기에서 y=1/2는 두 번 만나고 y=-1은 최솟값에서 한 번 만나는 구조를 보여 주는 그림. — 한 주기에서 y=1/2는 두 번, y=-1은 한 번 만난다.

전체 실근 개수는 $15$ $15$개로 홀수이다. 그런데 $2b$ $2b$는 항상 짝수이므로, 두 번째 수평선 $y=c$ $y=c$가 만드는 해의 개수가 전체 홀수 조건을 결정한다.

두 번째 수평선의 위치를 세 경우로 나눈다

$c<-\frac12$ $c<-\frac12$만 가능하므로, 코사인 그래프의 최솟값 $-1$ $-1$과 비교하면 된다.

c=-1/2-1/a의 위치에 따라 한 주기 교점 수가 2개, 1개, 0개로 나뉘고 c=-1만 총 15개 조건을 만족함을 정리한 표. — 두 번째 수평선 y=c는 c=-1일 때만 한 주기당 1개의 해를 만든다.

$-1<c<-\frac12$ $-1<c<-\frac12$이면 두 번째 수평선은 한 주기마다 코사인 그래프와 $2$ $2$번 만난다. 그러면 한 주기 총합은 $2+2=4$ $2+2=4$개이고 전체 실근 수는 $4b$ $4b$개가 되어 홀수 $15$ $15$가 될 수 없다.

$c<-1$ $c<-1$이면 두 번째 수평선은 코사인의 값의 범위보다 아래에 있으므로 교점이 없다. 이때 한 주기 총합은 $2+0=2$ $2+0=2$개라서 역시 $15$ $15$가 될 수 없다.

따라서 가능한 경우는 $c=-1$ $c=-1$뿐이다. 이때 두 번째 수평선은 코사인 그래프의 최솟값에 접하므로 한 주기마다 해를 $1$ $1$개 만든다.

c=-1에서 a와 b를 결정한다

$c=-1$ $c=-1$이므로

-\frac12-\frac1a=-1

이다. 따라서 $\frac1a=\frac12$ $\frac1a=\frac12$이고, $a=2$ $a=2$이다.

이때 한 주기에서 나오는 해의 개수는 첫 번째 수평선의 $2$ $2$개와 두 번째 수평선의 $1$ $1$개를 합쳐 $3$ $3$개이다. 전체 구간에는 $b$ $b$주기가 있으므로

3b=15

이고, 따라서 $b=5$ $b=5$이다.

결국

a+b=2+5=7

이므로 정답은 ③이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

먼저 인수분해된 방정식을 $\cos(b\pi x)=\frac12$ $\cos(b\pi x)=\frac12$와 $\cos(b\pi x)=-\frac12-\frac1a$ $\cos(b\pi x)=-\frac12-\frac1a$로 나눈다. 이때 두 번째 식을 $-\frac12-\frac1a$ $-\frac12-\frac1a$로 정확히 정리하는 것이 중요하다.

그다음 $0\le x\le2$ $0\le x\le2$에서 코사인이 $b$ $b$주기 반복된다는 점을 이용해 한 주기 교점 수만 센다. 전체 실근 수가 $15$ $15$로 홀수이므로, 두 번째 수평선은 최솟값 $-1$ $-1$에서 접해야 하고 그 결과 $a=2$ $a=2$, $b=5$ $b=5$가 정해진다.

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