들어가기 앞서…
이 문제는 등차수열과 등비수열을 각각 따로 계산하면 경우가 늘어난다. 먼저 조건 (가), (나)가 말하는 세 값을 한 줄에 놓고, 등비수열의 감소 구조를 등차수열의 칸수로 바꾸는 것이 빠르다.
핵심은 양수인 등비급수가 수렴한다는 조건이 0<r<1\(0<r<1\)을 강제한다는 점이다. 이 조건 하나로 b1>b2>b3\(b_1>b_2>b_3\)과 감소량 비교가 나오고, 자연수 k\(k\)의 후보가 거의 정리된다.
문제
2027학년도 6월 모의고사 수학 미적분 29번 문제
문제 텍스트 주관식
모든 항이 정수인 등차수열 {an}\(\{a_n\}\)과 모든 항이 양수인 등비수열 {bn}\(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
(가)a1=b1,a4=b2\[\text{(가)}\quad a_1=b_1,\qquad a_4=b_2\](나)어떤 자연수 k에 대하여 ak=b3이다.\[\text{(나)}\quad \text{어떤 자연수 } k \text{에 대하여 } a_k=b_3 \text{이다.}\]급수 ∑n=1∞bn\(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)이 수렴할 때,
n=1∑∞(bncos(anπ))\[\left|\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n\cos(a_n\pi)\right)\right|\]의 최솟값을 m\(m\)이라 하자. 10×m\(10\times m\)의 값을 구하시오.
정답
54
풀이
먼저 세 값을 한 줄에 놓아 본다
조건 (가), (나)를 보면 등비수열의 앞 세 항이 등차수열의 몇 번째 항인지 연결되어 있다.
b1=a1,b2=a4,b3=ak\[b_1=a_1,\qquad b_2=a_4,\qquad b_3=a_k\]
등비급수 ∑bn\(\sum b_n\)이 수렴하고 모든 bn\(b_n\)이 양수이므로 등비수열의 공비 r\(r\)은
0<r<1\[0<r<1\]
이다. 그래서 b1>b2>b3\(b_1>b_2>b_3\)이고, 연속한 항 사이의 감소량은 점점 작아진다. 실제로 b1=a\(b_1=a\), 공비가 r\(r\)이면
b1−b2=a(1−r),b2−b3=ar(1−r)\[b_1-b_2=a(1-r),\qquad b_2-b_3=ar(1-r)\]
이므로
b1−b2>b2−b3\[b_1-b_2>b_2-b_3\]
이다.
이제 이 세 값을 등차수열 위에 표시한다. 등차수열의 첫째항을 a\(a\), 공차를 d\(d\)라 하자. b1=a1=a\(b_1=a_1=a\), b2=a4=a+3d\(b_2=a_4=a+3d\)이고 b1>b2\(b_1>b_2\)이므로 d<0\(d<0\)이다.
또 b3<b2=a4\(b_3<b_2=a_4\)이므로 ak<a4\(a_k<a_4\)이고, 등차수열이 감소하므로 k>4\(k>4\)이다.
감소량을 등차수열의 간격으로 바꾸면
b1−b2=a1−a4=−3d,b2−b3=a4−ak=−(k−4)d\[b_1-b_2=a_1-a_4=-3d,\qquad b_2-b_3=a_4-a_k=-(k-4)d\]
이다. 그런데 b1−b2>b2−b3\(b_1-b_2>b_2-b_3\)이고 −d>0\(-d>0\)이므로
3>k−4\[3>k-4\]
이다. 따라서 k<7\(k<7\)이고, 자연수 k\(k\)는 다음 두 값뿐이다.
k=5,k=6\[k=5,\quad k=6\]
처음부터 복잡한 방정식을 세우는 대신, 등비수열의 감소량을 등차수열의 칸수 비교로 바꾼 것이 이 풀이의 출발점이다.
양수 수렴 등비수열의 감소량을 등차수열의 칸수로 비교한다.
공비도 같이 정해진다
위의 감소량 비교를 한 번 더 쓰면 공비 r\(r\)까지 바로 나온다. 등비수열에서는 두 감소량의 비가
b1−b2b2−b3=r\[\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2}=r\]
이다. 등차수열의 간격으로는
b1−b2b2−b3=−3d−(k−4)d=3k−4\[\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2}
=\frac{-(k-4)d}{-3d}
=\frac{k-4}{3}\]
이므로
r=3k−4\[r=\frac{k-4}{3}\]
이다. 따라서
k=5⇒r=31,k=6⇒r=32\[k=5\Rightarrow r=\frac13,\qquad k=6\Rightarrow r=\frac23\]
이다. 이제 남은 일은 두 경우에서 등차수열의 공차가 정수라는 조건과 cos(anπ)\(\cos(a_n\pi)\)의 홀짝 효과를 확인하는 것이다.
k와 t의 홀짝에 따라 급수값 후보를 나누어 비교한다.
k=5인 경우
k=5\(k=5\)이면 r=31\(r=\frac13\)이다. 조건 a4=b2\(a_4=b_2\)는 a+3d=ar\(a+3d=ar\)이므로
3d=a(31−1)=−32a\[3d=a\left(\frac13-1\right)=-\frac{2a}{3}\]
이다. 따라서
d=−92a\[d=-\frac{2a}{9}\]
이다. a,d\(a,d\)가 정수이고 a>0\(a>0\)이므로 a=9t\(a=9t\)라 둘 수 있고, 이때 d=−2t\(d=-2t\)이다.
그러면
an=9t+(n−1)(−2t)=t(11−2n)\[a_n=9t+(n-1)(-2t)=t(11-2n)\]
이다. 여기서 11−2n\(11-2n\)은 항상 홀수이므로 an\(a_n\)의 홀짝은 모든 n\(n\)에서 같다. 따라서 cos(anπ)\(\cos(a_n\pi)\)는 계속 같은 부호이고, 절댓값을 취하면 일반 등비급수의 합만 남는다.
이 경우의 값은
1−ra=1−319t=227t\[\frac{a}{1-r}
=\frac{9t}{1-\frac13}
=\frac{27t}{2}\]
이고, 최솟값은 t=1\(t=1\)일 때 227\(\frac{27}{2}\)이다.
k=6인 경우
k=6\(k=6\)이면 r=32\(r=\frac23\)이다. 마찬가지로 a+3d=ar\(a+3d=ar\)에서
3d=a(32−1)=−3a\[3d=a\left(\frac23-1\right)=-\frac{a}{3}\]
이므로
d=−9a\[d=-\frac{a}{9}\]
이다. 따라서 a=9t\(a=9t\), d=−t\(d=-t\)라 둘 수 있다.
이때
an=9t−(n−1)t=t(10−n)\[a_n=9t-(n-1)t=t(10-n)\]
이다. 이제 t\(t\)의 홀짝에 따라 cos(anπ)\(\cos(a_n\pi)\)의 부호 변화가 달라진다.
t\(t\)가 짝수이면 모든 an\(a_n\)이 짝수이므로 부호가 일정하다. 이때 값은
1−329t=27t\[\frac{9t}{1-\frac23}=27t\]
이고, 짝수 t\(t\)에서의 최소는 t=2\(t=2\)일 때 54\(54\)이다.
t\(t\)가 홀수이면 an=t(10−n)\(a_n=t(10-n)\)의 홀짝이 한 항씩 바뀐다. 따라서 cos(anπ)\(\cos(a_n\pi)\)의 부호도 번갈아 바뀌고, 절댓값은 교대 등비급수의 합이 된다. 이때 값은
1+329t=527t\[\frac{9t}{1+\frac23}
=\frac{27t}{5}\]
이다. 홀수 t\(t\)에서의 최소는 t=1\(t=1\)일 때 527\(\frac{27}{5}\)이다. 이 경우가 전체 후보 중 가장 작은 값을 만든다.
최솟값을 비교한다
가능한 최소 후보는 다음 세 가지이다.
227,54,527\[\frac{27}{2},\qquad 54,\qquad \frac{27}{5}\]
이 중 가장 작은 값은
m=527\[m=\frac{27}{5}\]
이다. 따라서
10m=10⋅527=54\[10m=10\cdot\frac{27}{5}=54\]
이다.
원래 조건으로 빠르게 확인한다
최솟값은 k=6\(k=6\), t=1\(t=1\)일 때 나온다. 이때 a=9\(a=9\), d=−1\(d=-1\), r=32\(r=\frac23\)이므로
an=10−n,bn=9(32)n−1\[a_n=10-n,\qquad b_n=9\left(\frac23\right)^{n-1}\]
이다.
조건 (나)를 확인하면
b3=9(32)2=4,a6=4\[b_3=9\left(\frac23\right)^2=4,\qquad a_6=4\]
이다. 또 0<r<1\(0<r<1\)이므로 등비급수 ∑bn\(\sum b_n\)은 수렴한다.
마지막 합은 an=10−n\(a_n=10-n\)의 홀짝이 번갈아 바뀌므로
n=1∑∞bncos(anπ)=−9+9⋅32−9(32)2+⋯=1+329=527\[\left|\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\right|
=\left|-9+9\cdot\frac23-9\left(\frac23\right)^2+\cdots\right|
=\frac{9}{1+\frac23}
=\frac{27}{5}\]
이다. 따라서 10m=54\(10m=54\)가 맞다.