f(alpha)=f'(t)-4t^2+4는 y=f(x)와 움직이는 수평선 y=H(t)의 교점을 묻는다 g(t)는 방정식의 실근 중 가장 큰 값, 즉 가장 오른쪽 교점의 x좌표이다 가장 오른쪽 교점의 불연속은 수평선 높이가 f의 극소값 높이에 닿을 때 생긴다 H(t)=f'(t)-4t^2+4는 아래로 열린 포물선이고 t=3에서 극소값 높이에 한 번만 닿는다 g(3)=1은 x=1이 f(x)의 극소점이라는 뜻이다

6월 모의고사 수학 21번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 수학 공통 21번 풀이 | 삼차함수 가장 큰 해와 불연속

정답

핵심 요약

방정식을 y=f(x)와 수평선 y=H(t)의 교점으로 바꾸고, g(t)의 유일한 불연속을 H(t)가 f의 극소값 높이에 꼭짓점으로 닿는 조건으로 해석해 f'(x)=3(x-1)(x+3), f(2)=11을 얻는다.

들어가기 앞서…

이 문제에서 $\alpha$ $\alpha$를 직접 구하려고 하면 계산이 길어진다. 먼저 오른쪽 항을 하나의 높이로 보고, 방정식 $f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4$ $f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4$를 삼차함수와 수평선의 교점 문제로 바꾸는 것이 출발점이다.

$g(t)$ $g(t)$는 그 교점들 중 가장 오른쪽 교점의 $x$ $x$좌표이다. 따라서 불연속 조건은 수평선 높이가 변할 때 가장 오른쪽 교점이 갑자기 바뀌는 순간을 찾으라는 뜻으로 읽어야 한다.

문제

문제 텍스트 주관식

최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$가 있다.

실수 $t$ $t$에 대하여

f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4

를 만족시키는 실수 $\alpha$ $\alpha$의 최댓값을 $g(t)$ $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$ $g(t)$가 $t=3$ $t=3$에서만 불연속이고 $g(3)=1$ $g(3)=1$일 때, $f(2)$ $f(2)$의 값을 구하시오.

정답

$11$ $11$

풀이

방정식을 수평선 교점으로 바꾼다

오른쪽 항을 다음과 같이 둔다.

H(t)=f'(t)-4t^2+4

그러면 주어진 식은 $f(\alpha)=H(t)$ $f(\alpha)=H(t)$가 된다. 고정된 $t$ $t$마다 $H(t)$ $H(t)$는 하나의 상수이므로, 이 식은 그래프 $y=f(x)$ $y=f(x)$와 수평선 $y=H(t)$ $y=H(t)$의 교점을 묻는다.

$g(t)$ $g(t)$는 실수 $\alpha$ $\alpha$의 최댓값이므로, 그래프에서는 수평선과 만나는 점들 중 가장 오른쪽 교점의 $x$ $x$좌표이다.

방정식 f(alpha)=H(t)를 수평선과 삼차함수의 교점으로 해석하고, 극소값 높이에서 가장 오른쪽 교점이 점프하는 모습을 비교한 그림. — 가장 오른쪽 교점은 수평선이 극소값 높이에 닿을 때 갑자기 바뀐다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수에서 가장 오른쪽 교점이 갑자기 바뀌는 높이는 극소값 높이이다. 극소값보다 조금 낮은 높이에서는 왼쪽 가지의 교점 하나만 있다가, 수평선이 극소점에 닿는 순간 오른쪽의 극소점이 새 교점으로 생긴다.

반대로 극댓값 높이에서는 가장 오른쪽 교점이 계속 오른쪽 가지에 남아 있으므로 이런 점프가 생기지 않는다. 따라서 이 문제의 불연속 조건은 $H(t)$ $H(t)$가 $f(x)$ $f(x)$의 극소값 높이에 닿는 순간을 말한다.

움직이는 높이 H(t)의 모양을 본다

$f(x)$ $f(x)$가 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수이므로 $f'(t)$ $f'(t)$의 최고차항은 $3t^2$ $3t^2$이다. 따라서

H(t)=f'(t)-4t^2+4

의 최고차항은 $3t^2-4t^2=-t^2$ $3t^2-4t^2=-t^2$이다. 즉 $H(t)$ $H(t)$는 아래로 열린 포물선이다.

이제 $g(t)$ $g(t)$가 $t=3$ $t=3$에서만 불연속이라는 조건을 해석한다. $H(t)$ $H(t)$의 최댓값이 극소값 높이보다 낮으면 극소값 높이에 닿지 않아 불연속이 없다. 최댓값이 극소값 높이보다 높으면 아래로 열린 포물선이 그 높이를 보통 두 번 지나므로 불연속이 두 번 생긴다.

따라서 불연속이 하나만 생기려면 $H(t)$ $H(t)$의 최댓값이 극소값 높이와 정확히 같아야 한다. 문제에서 그 하나의 불연속이 $t=3$ $t=3$에서 생긴다고 했으므로, $H(t)$ $H(t)$의 꼭짓점은 $t=3$ $t=3$이다.

아래로 열린 포물선 H(t)가 극소값 높이에 닿지 않는 경우, 두 번 만나는 경우, 꼭짓점으로 한 번만 닿는 경우를 비교한 그림. — 불연속이 t=3 하나뿐이라는 조건은 H(t)의 꼭짓점 접촉을 뜻한다.

g(3)=1을 극소점 위치로 읽는다

$t=3$ $t=3$에서 $H(t)$ $H(t)$는 $f(x)$ $f(x)$의 극소값 높이에 닿는다. 이때 $g(3)=1$ $g(3)=1$이라는 말은 가장 오른쪽 교점, 즉 극소점의 $x$ $x$좌표가 $1$ $1$이라는 뜻이다.

따라서 $f(x)$ $f(x)$는 $x=1$ $x=1$에서 극소값을 가진다. 최고차항의 계수가 $1$ $1$인 삼차함수의 도함수는 최고차항의 계수가 $3$ $3$인 이차식이므로, 다른 극값의 $x$ $x$좌표를 $a$ $a$라 두면 다음과 같이 쓸 수 있다.

f'(x)=3(x-1)(x-a)

이제 $H(t)$ $H(t)$를 이 형태로 정리한다.

\begin{aligned} H(t) &=3(t-1)(t-a)-4t^2+4\\ &=-t^2-3(a+1)t+3a+4 \end{aligned}

아래로 열린 이차함수 $H(t)$ $H(t)$의 꼭짓점이 $t=3$ $t=3$이므로 $H'(3)=0$ $H'(3)=0$이다. $H'(t)=-2t-3(a+1)$ $H'(t)=-2t-3(a+1)$이므로 다음 식을 얻는다.

-6-3(a+1)=0

따라서 $a=-3$ $a=-3$이다. 즉

f'(x)=3(x-1)(x+3)

이다. 실제로 다른 극값의 위치가 $-3$ $-3$이므로 $x=1$ $x=1$은 극소점이라는 조건과도 맞다.

g(3)=1과 t=3에서의 꼭짓점 조건으로 도함수 f'(x)=3(x-1)(x+3)을 확정하는 계산 흐름. — g(3)=1은 극소점의 x좌표를 주고, 꼭짓점 조건은 다른 극값 위치를 정한다.

극소값 높이로 상수를 정한다

도함수를 적분하면

f(x)=x^3+3x^2-9x+C

이다. 남은 상수 $C$ $C$는 극소값의 높이로 정한다. $t=3$ $t=3$에서 $H(t)$ $H(t)$가 극소값 높이와 같으므로 $f(1)=H(3)$ $f(1)=H(3)$이다.

먼저

f'(3)=3(3-1)(3+3)=36

이므로

H(3)=36-4\cdot3^2+4=4

이다. 따라서 $f(1)=4$ $f(1)=4$이다.

한편 $f(1)=1+3-9+C=C-5$ $f(1)=1+3-9+C=C-5$이므로 $C-5=4$ $C-5=4$이고, $C=9$ $C=9$이다. 그러므로

f(x)=x^3+3x^2-9x+9

이다.

구하려는 값은 다음과 같다.

f(2)=8+12-18+9=11

따라서 정답은 $11$ $11$이다.

조건에 다시 넣어 확인한다

구한 함수는 $f(x)=x^3+3x^2-9x+9$ $f(x)=x^3+3x^2-9x+9$이고 $f'(x)=3(x-1)(x+3)$ $f'(x)=3(x-1)(x+3)$이다. 따라서 $x=1$ $x=1$은 극소점이고 $f(1)=4$ $f(1)=4$이다.

또

H(t)=f'(t)-4t^2+4=4-(t-3)^2

이므로 $H(t)$ $H(t)$는 $t=3$ $t=3$에서만 극소값 높이 $4$ $4$에 닿는다. 따라서 $g(t)$ $g(t)$는 $t=3$ $t=3$에서만 불연속이고, 그 순간의 가장 오른쪽 교점은 $x=1$ $x=1$이다. 원래 조건과 맞으므로 $f(2)=11$ $f(2)=11$이 확정된다.