a_1=1, a_3=4가 별도의 시작점이다 n->2n 이동은 항의 값을 1 증가시킨다 n->4n+1, n->4n+3 이동은 항의 값을 4 증가시키며 두 갈래 선택을 만든다 1과 3을 제외한 모든 자연수 인덱스는 바로 이전 인덱스가 유일하다 시작값 1에서는 x+4y=9, 시작값 4에서는 x+4y=6을 센다

6월 모의고사 수학 22번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2027학년도 6월 모의고사 수학 공통 22번 풀이 | 귀납 수열과 경로 세기

정답

핵심 요약

각 조건을 n->2n은 +1, n->4n+1과 n->4n+3은 +4인 생성 규칙으로 읽고, 이전 인덱스가 유일함을 확인한 뒤 시작값 1과 4에서 목표값 10까지의 이동 문자열을 세어 32를 얻는다.

들어가기 앞서…

이 문제는 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ $a_1,a_2,a_3,\cdots$를 앞에서부터 나열하는 방식으로 풀기 어렵다. 조건의 인덱스가 $2n$ $2n$, $4n+1$ $4n+1$, $4n+3$ $4n+3$으로 갈라지기 때문이다.

대신 한 항에서 어떤 새 항이 만들어지는지를 보면 된다. 핵심은 수열의 일반항을 찾는 것이 아니라, 시작값에서 목표값까지 가는 생성 경로를 세는 것이다.

문제

문제 텍스트 주관식

수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$은 $a_1=1$ $a_1=1$, $a_3=4$ $a_3=4$이고, 모든 자연수 $n$ $n$에 대하여

a_{2n}=a_n+1,

a_{4n+3}=a_{4n+1}=a_n+4

를 만족시킨다. $a_k=10$ $a_k=10$을 만족시키는 자연수 $k$ $k$의 개수를 구하시오.

정답

$32$ $32$

풀이

조건을 세 갈래 이동 규칙으로 읽는다

어떤 $a_n$ $a_n$의 값을 알고 있다고 하자. 그러면 조건은 한 인덱스 $n$ $n$에서 다음 인덱스들이 만들어진다는 뜻이다.

$n\to 2n$ $n\to 2n$으로 가면 값이 $1$ $1$ 증가한다.
$n\to 4n+1$ $n\to 4n+1$로 가면 값이 $4$ $4$ 증가한다.
$n\to 4n+3$ $n\to 4n+3$으로 가면 값이 $4$ $4$ 증가한다.

따라서 $a_k=10$ $a_k=10$을 만드는 일은 시작값 $1$ $1$ 또는 $4$ $4$에서 값 $10$ $10$까지 가는 이동 방법을 세는 일로 바뀐다.

여기서 $a_1=1$ $a_1=1$과 $a_3=4$ $a_3=4$는 문제에서 직접 준 시작점이다. 특히 $a_3$ $a_3$은 $a_1$ $a_1$에서 만들어진 값으로 보면 안 된다. $3=4n+3$ $3=4n+3$이 되려면 $n=0$ $n=0$이어야 하지만, 조건은 자연수 $n$ $n$에 대해서만 주어져 있다.

같은 인덱스를 두 번 세지 않는지 확인한다

이동 방법을 세기 전에 먼저 서로 다른 이동 경로가 같은 $k$ $k$를 만들지 않는지 확인해야 한다. 이 확인이 없으면 이동 문자열의 개수를 그대로 더할 수 없다.

$1$ $1$, $3$ $3$을 제외한 자연수 $k$ $k$를 보자. 짝수는 반드시 $k=2n$ $k=2n$ 꼴이고, 이때 이전 인덱스는 $n=\frac{k}{2}$ $n=\frac{k}{2}$로 유일하다.

또 $5$ $5$ 이상의 홀수는 $4n+1$ $4n+1$ 또는 $4n+3$ $4n+3$ 중 정확히 하나의 꼴이다. 두 식은 각각 $1\pmod 4$ $1\pmod 4$, $3\pmod 4$ $3\pmod 4$인 홀수를 만들기 때문이다. 따라서 이 경우도 이전 인덱스가 유일하다.

결국 $1$ $1$, $3$ $3$을 제외한 모든 인덱스는 바로 이전 인덱스가 유일하다. 거꾸로 따라 올라가면 어느 시작점에서 왔는지도 유일하므로, 서로 다른 이동 문자열은 서로 다른 인덱스 $k$ $k$를 만든다.

자연수 인덱스를 시작점 1과 3, 짝수, 5 이상의 홀수로 분류해 이전 인덱스가 유일함을 확인하는 그림. — 이전 인덱스가 유일하므로 이동 문자열을 세어도 중복되지 않는다.

시작점 a_1=1에서 출발하는 경우를 센다

$a_1=1$ $a_1=1$에서 $a_k=10$ $a_k=10$이 되려면 총 $9$ $9$만큼 증가해야 한다. 값 $+1$ $+1$ 이동의 횟수를 $x$ $x$, 값 $+4$ $+4$ 이동의 횟수를 $y$ $y$라 하면 다음 식을 얻는다.

x+4y=9

가능한 경우는 $y=0,1,2$ $y=0,1,2$이다.

$y=0$ $y=0$이면 $x=9$ $x=9$이다. 전부 $+1$ $+1$ 이동이므로 방법은 $1$ $1$가지이다.

$y=1$ $y=1$이면 $x=5$ $x=5$이다. 총 $6$ $6$번의 이동 중 어느 한 자리에 $+4$ $+4$ 이동을 넣는지 $6$ $6$가지이고, 그 $+4$ $+4$ 이동은 $4n+1$ $4n+1$, $4n+3$ $4n+3$ 중 하나를 선택할 수 있다. 따라서 방법은 $6\cdot2=12$ $6\cdot2=12$가지이다.

$y=2$ $y=2$이면 $x=1$ $x=1$이다. 총 $3$ $3$번의 이동 중 어느 한 자리에 $+1$ $+1$ 이동을 넣는지 $3$ $3$가지이고, 두 번의 $+4$ $+4$ 이동은 각각 $2$ $2$가지 선택이 있다. 따라서 방법은 $3\cdot2^2=12$ $3\cdot2^2=12$가지이다.

그러므로 $a_1=1$ $a_1=1$에서 출발하는 경우는 다음과 같다.

1+12+12=25

시작점 a_3=4에서 출발하는 경우를 센다

$a_3=4$ $a_3=4$에서 $a_k=10$ $a_k=10$이 되려면 총 $6$ $6$만큼 증가해야 한다. 이번에는

x+4y=6

이다.

가능한 경우는 $y=0,1$ $y=0,1$이다. $y=0$ $y=0$이면 $x=6$ $x=6$이므로 전부 $+1$ $+1$ 이동이고, 방법은 $1$ $1$가지이다.

$y=1$ $y=1$이면 $x=2$ $x=2$이다. 총 $3$ $3$번의 이동 중 어느 한 자리에 $+4$ $+4$ 이동을 넣는지 $3$ $3$가지이고, 그 $+4$ $+4$ 이동은 $4n+1$ $4n+1$, $4n+3$ $4n+3$ 중 하나를 선택할 수 있다. 따라서 방법은 $3\cdot2=6$ $3\cdot2=6$가지이다.

그러므로 $a_3=4$ $a_3=4$에서 출발하는 경우는 다음과 같다.

1+6=7

시작값 1과 4에서 값 10까지 가는 +1 이동과 +4 이동의 횟수, 이동 순서의 경우의 수, 합계를 정리한 표. — 두 시작점에서 목표값 10까지 가는 이동 문자열을 각각 센다.

두 시작점의 경우를 더한다

두 시작점은 $a_1=1$ $a_1=1$, $a_3=4$ $a_3=4$로 따로 주어졌고, 이후의 각 인덱스는 이전 인덱스가 유일하다. 따라서 두 시작점에서 나온 경로는 서로 겹치지 않는다.

전체 개수는

25+7=32

이다. 따라서 $a_k=10$ $a_k=10$을 만족시키는 자연수 $k$ $k$의 개수는 $32$ $32$이다.

다시 풀 때는 이 기준만 기억한다

귀납적으로 정의된 수열에서 인덱스가 $2n$ $2n$, $4n+1$ $4n+1$, $4n+3$ $4n+3$처럼 갈라지면 앞에서부터 항을 나열하기보다 한 항이 어떤 새 항을 만드는지 먼저 본다.

그 다음에는 생성 경로가 겹치지 않는지 확인해야 한다. 이 문제에서는 $1$ $1$, $3$ $3$을 제외한 모든 인덱스의 이전 인덱스가 유일하므로, 값의 증가량과 이동 순서를 세는 방식이 그대로 자연수 $k$ $k$의 개수가 된다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

0 / 300