2027학년도 6월 모의고사 확률과 통계 30번 풀이 | 이웃 금지 배열과 칸 분배

들어가기 앞서…

노란색 공과 보라색 공을 먼저 배열하려고 하면 이웃하는 순간을 계속 확인해야 한다. 이 문제에서는 두 색 사이를 끊어 줄 수 있는 검은색 공을 먼저 놓는 것이 핵심이다.

검은색 공 4개를 놓으면 양끝까지 포함해 5개의 칸이 생긴다. 이 칸 안에 노란색과 보라색이 함께 들어가면 반드시 두 색이 이웃하므로, 원래 조건은 “각 칸은 비어 있거나 한 가지 색만 가진다”는 조건으로 바뀐다.

문제

정답

$780$\(780\)

풀이

검은색 공 4개가 만드는 5개의 칸을 본다

검은색 공 4개를 먼저 놓으면 노란색 공과 보라색 공이 들어갈 수 있는 칸이 다음처럼 5개 생긴다.

양끝 칸까지 포함해야 하므로 칸은 4개가 아니라 5개이다. 검은색 공끼리는 구별되지 않지만, 이렇게 생긴 5개의 칸은 왼쪽부터 위치가 다르므로 서로 다른 칸으로 본다.

한 칸 안에는 검은색 공이 없다. 따라서 그 칸에 노란색 공과 보라색 공이 함께 들어가면 색이 바뀌는 지점에서 반드시 $YP$\(YP\) 또는 $PY$\(PY\)가 생긴다. 즉 두 색이 이웃한다.

반대로 각 칸이 비어 있거나 한 가지 색만 가지고 있으면, 서로 다른 칸 사이에는 검은색 공이 끼어 있다. 그러므로 노란색 공과 보라색 공이 이웃할 수 없다.

따라서 원래 조건은 다음 조건으로 바뀐다.

5개의 칸 각각은 비어 있거나, 노란색 공만 들어 있거나, 보라색 공만 들어 있어야 한다.

이제 칸 선택과 같은 색 공 4개의 분배를 분리해서 세면 된다.

같은 색 공 4개를 선택된 칸에 나누는 방법을 준비한다

한 색 공 4개를 선택된 칸에 나누어 넣는 방법부터 정리한다. 선택된 칸이 $r$\(r\)개일 때 각 칸에는 적어도 1개가 들어가야 하므로, $4$\(4\)를 $r$\(r\)개의 양의 정수의 합으로 나타내는 수를 세면 된다.

두 색이 모두 있어야 하므로 노란색 또는 보라색 공이 들어간 칸의 총개수는 최소 2개이다. 전체 칸은 5개이므로 최대 5개이다. 이제 총 사용 칸 수가 $2,3,4,5$\(2,3,4,5\)인 경우를 나눈다.

총 2칸 또는 3칸을 쓰는 경우를 센다

총 2칸을 쓰는 경우는 노란색 칸 1개, 보라색 칸 1개뿐이다. 노란색 칸을 고르고 남은 칸에서 보라색 칸을 고르면 된다. 각 색은 한 칸에 4개가 모두 들어가므로 분배 방법은 각각 1가지이다.

총 3칸을 쓰는 경우는 노란색 칸 1개와 보라색 칸 2개이거나, 그 반대이다. 두 경우는 색 이름만 바뀐 대칭이다.

노란색 칸이 1개, 보라색 칸이 2개라고 하면 노란색 칸은 $\binom{5}{1}$\(\binom{5}{1}\)가지, 보라색 칸은 남은 4개 중 $\binom{4}{2}$\(\binom{4}{2}\)가지로 고른다. 보라색 공 4개를 2개 칸에 적어도 1개씩 넣는 방법은 3가지이다.

총 4칸을 쓰는 경우를 센다

총 4칸을 쓰는 경우의 가능한 분배는 $(1,3)$\((1,3)\), $(3,1)$\((3,1)\), $(2,2)$\((2,2)\)이다. 순서쌍은 노란색 칸의 수와 보라색 칸의 수를 뜻한다.

$(1,3)$\((1,3)\)과 $(3,1)$\((3,1)\)은 대칭이다. 노란색 칸이 1개, 보라색 칸이 3개인 경우를 세면 $\binom{5}{1}\binom{4}{3}\times3$\(\binom{5}{1}\binom{4}{3}\times3\)가지이고, 대칭인 경우까지 2배 한다. 여기서 $3$\(3\)은 한 색 공 4개를 3개 칸에 양의 개수로 나누어 넣는 방법의 수이다.

$(2,2)$\((2,2)\)인 경우에는 노란색 칸 2개를 고르고, 남은 칸 중 보라색 칸 2개를 고른다. 두 색 모두 4개 공을 2개 칸에 나누어 넣어야 하므로 각각 3가지씩이다.

따라서 총 4칸을 쓰는 경우의 수는 다음과 같다.

총 5칸을 쓰는 경우를 센다

총 5칸을 쓰는 경우의 가능한 분배는 $(1,4)$\((1,4)\), $(4,1)$\((4,1)\), $(2,3)$\((2,3)\), $(3,2)$\((3,2)\)이다. 한 색 공은 4개뿐이므로 한 색이 5칸을 쓰는 경우는 없다.

$(1,4)$\((1,4)\)과 $(4,1)$\((4,1)\)은 대칭이다. 한 색이 1개 칸, 다른 색이 4개 칸을 쓰는 경우는 다음과 같다. 4개 칸에 공 4개를 적어도 1개씩 넣는 방법은 모두 1개씩 넣는 1가지뿐이다.

$(2,3)$\((2,3)\)과 $(3,2)$\((3,2)\)도 대칭이다. 노란색 칸이 2개, 보라색 칸이 3개인 경우를 세면 $\binom{5}{2}\binom{3}{3}$\(\binom{5}{2}\binom{3}{3}\)가지로 칸을 고르고, 공을 나누어 넣는 방법은 각각 3가지와 3가지이다.

따라서 총 5칸을 쓰는 경우의 수는 다음과 같다.

네 경우를 합산한다

총 사용 칸 수 $2,3,4,5$\(2,3,4,5\)는 서로 겹치지 않고 모든 가능성을 포함한다. 따라서 전체 경우의 수는 아래와 같다.

따라서 정답은 $780$\(780\)이다.

다시 풀 때는 칸 선택과 분배를 분리한다

이웃하지 않는 조건이 두 색 사이에 걸려 있으면, 두 색을 먼저 배열하지 말고 그 사이를 끊어 줄 수 있는 대상을 먼저 찾는다. 이 문제에서는 검은색 공이 그 역할을 한다.

검은색 공을 먼저 놓아 칸을 만들면, 이웃 금지 조건은 “한 칸에 두 색이 섞이면 안 된다”는 조건으로 바뀐다. 그다음에는 어느 칸을 노란색 칸과 보라색 칸으로 쓸지 고르는 문제와 같은 색 공 4개를 선택된 칸에 1개 이상씩 분배하는 문제를 나누어 계산하면 된다.