공끼리는 서로 구별하지 않으므로 각 주머니의 공 개수 배열만 세면 된다 각 주머니에는 공이 0개, 1개, 2개만 들어갈 수 있다 1개가 들어 있는 주머니는 4개 또는 6개이다 2개가 들어 있는 주머니와 이웃한 주머니는 반드시 빈 주머니이다

수능 확률과 통계 30번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 확률과 통계 30번 풀이 | 주머니 배열과 경우의 수

정답

262

핵심 요약

공 배분을 0,1,2 배열로 바꾸면 (n1,n2,n0)=(4,2,4),(6,1,3)만 가능하다. 빈 주머니의 틈에 2를 배치하고 남은 틈에 1을 분배해 150+112=262를 얻는다.

들어가기 앞서…

공끼리는 서로 구별하지 않는다. 그래서 실제로 세는 것은 어느 공이 어느 주머니에 들어갔는가가 아니라, 왼쪽부터 각 주머니에 공이 몇 개 들어 있는지이다.

각 주머니를 $0,1,2$ $0,1,2$ 중 하나로 적으면 길이 $10$ $10$인 배열 문제가 된다. 이때 조건 (나)는 “ $2$ $2$의 양옆에는 $0$ $0$만 올 수 있다”는 이웃 조건으로 바뀐다. 그래서 $2$ $2$를 직접 먼저 놓기보다, 빈 주머니가 만드는 틈에 $2$ $2$를 넣는 방식이 계산을 짧게 만든다.

문제

문제 텍스트 주관식

비어 있는 주머니 $10$ $10$개가 일렬로 놓여 있고, 공 $8$ $8$개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 $2$ $2$ 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.
단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.

(가) 들어 있는 공의 개수가 $1$ $1$인 주머니는 $4$ $4$개 또는 $6$ $6$개이다.

(나) 들어 있는 공의 개수가 $2$ $2$인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다.

정답

$262$ $262$

풀이

주머니 한 줄을 0, 1, 2 배열로 바꾼다

공이 구별되지 않으므로 각 주머니에는 공의 개수만 기록하면 된다. 빈 주머니를 $0$ $0$, 공이 하나 들어 있는 주머니를 $1$ $1$, 공이 두 개 들어 있는 주머니를 $2$ $2$로 쓰면, 길이 $10$ $10$인 배열을 세는 문제가 된다.

조건 (나)는 배열에서 바로 보인다. $2$ $2$가 놓인 칸의 양옆에는, 그 칸이 존재한다면 반드시 $0$ $0$이 와야 한다. 따라서 $2$ $2$ 옆에는 $1$ $1$도 올 수 없고, 다른 $2$ $2$도 바로 붙을 수 없다.

공 배분을 길이 10의 0, 1, 2 배열로 바꾸고 조건 가의 두 개수 케이스와 2 옆에는 0만 올 수 있다는 이웃 조건을 정리한 필기. — 공 배분을 0, 1, 2 배열로 바꾸면 조건 (가), (나)가 바로 보인다.

이 조건을 보면 $2$ $2$를 먼저 아무 데나 놓고 수정하는 것보다, $0$ $0$을 먼저 놓고 $2$ $2$가 들어갈 수 있는 틈을 보는 편이 짧다. $0$ $0$은 $2$ $2$가 옆에 붙기 위해 필요한 완충 칸이기 때문이다.

조건 (가)로 0, 1, 2의 개수부터 정한다

$1$ $1$이 들어 있는 주머니의 개수를 $n_1$ $n_1$, $2$ $2$가 들어 있는 주머니의 개수를 $n_2$ $n_2$, 빈 주머니의 개수를 $n_0$ $n_0$라 하자. 공의 총개수가 $8$ $8$개이므로 $n_1+2n_2=8$ $n_1+2n_2=8$이다.

조건 (가)에 의해 $n_1$ $n_1$은 $4$ $4$ 또는 $6$ $6$이다. 전체 주머니가 $10$ $10$개이므로 각 경우의 빈 주머니 수는 $n_0=10-n_1-n_2$ $n_0=10-n_1-n_2$로 정해진다. 가능한 개수는 다음 두 가지뿐이다.

\begin{array}{c|c|c} n_1 & n_2 & n_0\\ \hline 4 & 2 & 4\\ 6 & 1 & 3 \end{array}

이제 전체 배열을 무작정 세지 않는다. 각 경우에서 빈 주머니들을 먼저 줄 세우고, 그 사이사이에 $2$ $2$를 넣을 수 있는지를 본다.

빈 주머니 네 개 사이의 틈에 2 두 개를 넣는다

먼저 $n_1=4,\ n_2=2,\ n_0=4$ $n_1=4,\ n_2=2,\ n_0=4$인 경우이다. 빈 주머니 $4$ $4$개를 먼저 놓으면 양끝과 사이에 틈이 $5$ $5$곳 생긴다.

V\ A_1\ V\ A_2\ V\ A_3\ V\ A_4\ V

여기서 $A_1,A_2,A_3,A_4$ $A_1,A_2,A_3,A_4$는 빈 주머니이고, $V$ $V$는 $2$ $2$ 또는 $1$ $1$이 들어갈 수 있는 틈을 뜻한다.

n1은 4, n2는 2, n0는 4인 경우에 빈 주머니 네 개가 만드는 다섯 틈 중 2가 들어갈 두 틈을 고르고 남은 세 틈에 1 네 개를 분배해 150가지를 얻는 계산 필기. — 빈 주머니 4개가 만든 5개 틈 중 2가 들어갈 두 틈을 먼저 고른다.

$2$ $2$ 두 개는 같은 틈에 함께 들어갈 수 없다. 같은 틈에 넣으면 두 $2$ $2$가 바로 붙어서 조건 (나)를 어긴다. 따라서 $5$ $5$개의 틈 중 서로 다른 $2$ $2$곳을 고른다.

\binom{5}{2}=10

$2$ $2$가 들어간 틈에는 $1$ $1$을 추가할 수 없다. $1$ $1$이 $2$ $2$와 바로 이웃하게 되기 때문이다. 따라서 남은 세 틈에 $1$ $1$이 들어 있는 주머니 $4$ $4$개를 나누어 넣는다.

세 틈에 들어갈 $1$ $1$의 개수를 $x_1,x_2,x_3$ $x_1,x_2,x_3$이라 하면 $x_1+x_2+x_3=4$ $x_1+x_2+x_3=4$인 음이 아닌 정수해를 세면 된다.

{}_3H_4=\binom{6}{4}=15

따라서 $n_1=4$ $n_1=4$인 경우는 $10\times15=150$ $10\times15=150$가지이다. 이 방식에는 $2,0,2$ $2,0,2$처럼 빈 주머니 하나를 사이에 두고 두 $2$ $2$가 놓이는 경우도 자연스럽게 포함된다.

빈 주머니 세 개 사이의 틈에 2 한 개를 넣는다

이번에는 $n_1=6,\ n_2=1,\ n_0=3$ $n_1=6,\ n_2=1,\ n_0=3$인 경우이다. 빈 주머니 $3$ $3$개를 먼저 놓으면 틈은 $4$ $4$곳이다.

V\ A_1\ V\ A_2\ V\ A_3\ V

n1은 6, n2는 1, n0는 3인 경우에 빈 주머니 세 개가 만드는 네 틈 중 2가 들어갈 한 틈을 고르고 남은 세 틈에 1 여섯 개를 분배해 112가지를 얻는 계산 필기. — 빈 주머니 3개가 만든 4개 틈 중 2가 들어갈 한 틈을 고른다.

$2$ $2$가 들어 있는 주머니는 한 개뿐이므로, 네 틈 중 하나를 고르면 된다.

\binom{4}{1}=4

그 한 틈을 제외하면 남은 세 틈에 $1$ $1$이 들어 있는 주머니 $6$ $6$개를 나누어 넣으면 된다. 세 틈에 들어갈 $1$ $1$의 개수를 $y_1,y_2,y_3$ $y_1,y_2,y_3$이라 하면 $y_1+y_2+y_3=6$ $y_1+y_2+y_3=6$인 음이 아닌 정수해를 세면 된다.

{}_3H_6=\binom{8}{6}=28

따라서 $n_1=6$ $n_1=6$인 경우는 $4\times28=112$ $4\times28=112$가지이다.

두 경우를 합치고 조건을 다시 확인한다

앞에서 나눈 두 경우는 $1$ $1$이 들어 있는 주머니의 개수가 각각 $4$ $4$개, $6$ $6$개로 다르다. 따라서 같은 배열이 두 번 세어질 수 없다.

전체 경우의 수는 아래와 같다.

150+112=262

따라서 정답은 $262$ $262$이다.

다시 풀 때는 빈칸을 먼저 놓는다

이웃 조건이 있는 경우의 수 문제에서는 제한을 직접 만드는 대상과, 그 제한을 받아 주는 대상을 함께 봐야 한다. 여기서는 $2$ $2$가 이웃 제한을 만들지만, 그 제한을 실제로 받아 주는 것은 $0$ $0$이다.

그래서 $0$ $0$을 먼저 놓고 빈 주머니들이 만드는 틈을 세면 된다. 그 틈 중 일부에 $2$ $2$를 넣고, $2$ $2$가 없는 남은 틈에 $1$ $1$을 중복조합으로 분배하면 중복과 누락을 줄일 수 있다.

마지막 검산도 같은 흐름이다. $n_1=4$ $n_1=4$일 때는 공의 수가 $4+2\cdot2=8$ $4+2\cdot2=8$이고, $n_1=6$ $n_1=6$일 때는 공의 수가 $6+2\cdot1=8$ $6+2\cdot1=8$이다. 또한 $2$ $2$를 항상 빈 주머니 옆에 놓았고, $2$ $2$가 들어간 틈에는 $1$ $1$을 넣지 않았으므로 조건 (나)도 빠뜨리지 않았다.

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