분모 x(x-2)가 0이 되는 점은 x=0,2뿐이다 g가 연속이므로 조각이 바뀌는 x=t에서 f(t)=0이다 조건 (나)의 오른쪽 집합은 서로 다른 두 자연수이므로 g(1)<0이다 m=1은 음수 극한을 만들 수 없고, t 후보 중 t=2만 가능하다 t=2에서 음수 극한을 만드는 자연수가 정확히 2개이려면 3<r<=4이다

수능 수학 21번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 수학 21번 풀이 | 조각함수의 연속성과 우극한 부호

정답

핵심 요약

극한이 문제가 되는 0,2와 연속 조건에서 f의 근을 잡고, 자연수 집합 조건의 부호를 이용해 t=2와 3<r<=4를 확정한 뒤 r=11/3, α=3/14로 g(-5)=65를 얻는다.

들어가기 앞서…

삼차함수의 일반형을 바로 전개하면 계산이 넓어진다. 이 문제는 먼저 분모가 0이 되는 자리와 조각이 바뀌는 자리를 표시해서 함수의 근을 좁히는 것이 출발점이다.

조건 (나)의 집합도 값을 곧장 계산하기보다, 먼저 “서로 다른 두 자연수”라는 사실을 읽어야 한다. 이 부호 정보가 $m=1$ $m=1$을 제외하고 $t$ $t$의 후보를 줄이는 핵심 단서가 된다.

문제

문제 텍스트 주관식

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ $f(x)$와 실수 $t$ $t$에 대하여 함수

g(x)= \begin{cases} -f(x) & (x<t)\\ f(x) & (x\ge t) \end{cases}

는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $a$ $a$에 대하여

\lim_{x\to a+}\frac{g(x)}{x(x-2)}

의 값이 존재한다.

(나)

\lim_{x\to m+}\frac{g(x)}{x(x-2)}

의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 $m$ $m$의 집합은

\left\{g(-1),\ -\frac72g(1)\right\}

이다.

$g(-5)$ $g(-5)$의 값을 구하시오. 단, $g(-1)\ne-\frac72g(1)$ $g(-1)\ne-\frac72g(1)$이다.

정답

$65$ $65$

풀이

분모의 위험점과 연속 조건으로 f의 근을 잡는다

먼저 $\frac{g(x)}{x(x-2)}$ $\frac{g(x)}{x(x-2)}$의 분모를 본다. 분모 $x(x-2)$ $x(x-2)$는 $x=0,2$ $x=0,2$에서만 $0$ $0$이 된다. $a\ne0,2$ $a\ne0,2$에서는 분모가 $0$ $0$이 아니므로 오른쪽 극한이 자연스럽게 존재한다.

따라서 조건 (가)는 $x=0,2$ $x=0,2$에서 분자도 함께 $0$ $0$이 되어야 한다는 뜻이다. $g$ $g$는 연속이고 $f$ $f$에 부호만 붙인 함수이므로 $f(0)=0$ $f(0)=0$, $f(2)=0$ $f(2)=0$이다.

또 조각이 바뀌는 $x=t$ $x=t$에서 $g$ $g$가 연속이려면 왼쪽값 $-f(t)$ $-f(t)$와 오른쪽값 $f(t)$ $f(t)$가 같아야 한다. 즉 $-f(t)=f(t)$ $-f(t)=f(t)$이고, 따라서 $f(t)=0$ $f(t)=0$이다.

분모 x(x-2)의 위험점 0과 2, 조각함수의 연속 조건 -f(t)=f(t)를 함께 표시해 f(0)=f(2)=f(t)=0과 f(x)=alpha x(x-2)(x-r), t가 0, 2, r 중 하나임을 정리한 필기. — 분모의 영점과 연속 조건에서 f의 근 후보를 잡는다.

이제 $f$ $f$는 $0$ $0$, $2$ $2$, 그리고 나머지 한 근 $r$ $r$을 갖는 삼차함수로 둘 수 있다. 최고차항의 계수를 $\alpha$ $\alpha$라고 하면 $\alpha>0$ $\alpha>0$이고, 식은 다음과 같다.

f(x)=\alpha x(x-2)(x-r)

또한 $t$ $t$도 $f$ $f$의 근이어야 하므로 $t$ $t$는 $0,2,r$ $0,2,r$ 중 하나이다.

조건 (나)의 집합에서 부호를 먼저 읽는다

조건 (나)의 왼쪽은 자연수 $m$ $m$들의 집합이다. 오른쪽은 $\{g(-1),-\frac72g(1)\}$ $\{g(-1),-\frac72g(1)\}$이고, 두 값이 서로 다르다고 했으므로 이 집합은 서로 다른 두 자연수로 이루어진다.

따라서 $g(-1)>0$ $g(-1)>0$이고 $-\frac72g(1)>0$ $-\frac72g(1)>0$이다. 여기서 바로 $g(1)<0$ $g(1)<0$을 얻는다.

이 부호는 $m=1$ $m=1$을 빠르게 제외한다. $x=1$ $x=1$ 근처에서 분모 $x(x-2)$ $x(x-2)$는 음수이다. 따라서

\lim_{x\to1+}\frac{g(x)}{x(x-2)}<0

이 되려면 $g(1)>0$ $g(1)>0$이어야 한다. 그런데 실제로는 $g(1)<0$ $g(1)<0$이므로 $m=1$ $m=1$은 조건을 만족시키는 자연수가 될 수 없다.

t의 후보를 부호로 줄인다

앞에서 $t$ $t$는 $0,2,r$ $0,2,r$ 중 하나라고 했다. 조건 (나)에서 얻은 $g(1)<0$ $g(1)<0$과 $m=1$ $m=1$ 제외를 이용해 후보를 줄인다.

조건 (나)의 오른쪽 집합이 두 자연수라는 사실에서 g(1)<0을 얻고, m=1 제외와 t=r, t=0 탈락을 거쳐 t=2만 남기는 부호표와 후보표. — 집합 조건의 부호 정보로 t의 불가능한 후보를 제거한다.

먼저 $t=r$ $t=r$이면 $m<r$ $m<r$에서는 $g(x)=-f(x)$ $g(x)=-f(x)$ 쪽을 보므로 극한값이 $-\alpha(m-r)>0$ $-\alpha(m-r)>0$이고, $m\ge r$ $m\ge r$에서는 $g(x)=f(x)$ $g(x)=f(x)$ 쪽을 보므로 극한값이 $\alpha(m-r)\ge0$ $\alpha(m-r)\ge0$이다. 음수가 되는 자연수 $m$ $m$이 없으므로 불가능하다.

다음으로 $t=0$ $t=0$이면 $1\ge t$ $1\ge t$이므로 $g(1)=f(1)=\alpha(r-1)$ $g(1)=f(1)=\alpha(r-1)$이다. 앞에서 $g(1)<0$ $g(1)<0$을 얻었으므로 $r<1$ $r<1$이다. 그런데 $m\ge2$ $m\ge2$이면 극한값이 $\alpha(m-r)>0$ $\alpha(m-r)>0$이 되고, $m=1$ $m=1$도 이미 제외되었다. 이 경우도 음수가 되는 자연수 $m$ $m$이 없다.

따라서 남는 후보는 $t=2$ $t=2$뿐이다.

t=2에서 음수가 되는 자연수를 센다

$t=2$ $t=2$이면 $x<2$ $x<2$에서는 $g(x)=-f(x)$ $g(x)=-f(x)$이고, $x\ge2$ $x\ge2$에서는 $g(x)=f(x)$ $g(x)=f(x)$이다. 특히 $m=2$ $m=2$는 오른쪽 극한이므로 $x\to2+$ $x\to2+$에서 $x\ge2$ $x\ge2$ 쪽 식을 써야 한다.

$\frac{f(x)}{x(x-2)}=\alpha(x-r)$ $\frac{f(x)}{x(x-2)}=\alpha(x-r)$이므로 자연수 $m$ $m$에 대한 오른쪽 극한은 다음과 같다.

\lim_{x\to m+}\frac{g(x)}{x(x-2)} = \begin{cases} -\alpha(m-r) & (m<2)\\ \alpha(m-r) & (m\ge2) \end{cases}

$m=1$ $m=1$은 이미 제외되었다. 따라서 음수가 되는 자연수는 $m\ge2$ $m\ge2$에서 찾아야 하고, 이때 극한값은 $\alpha(m-r)$ $\alpha(m-r)$이다. $\alpha>0$ $\alpha>0$이므로 음수가 되려면 $m<r$ $m<r$이어야 한다.

t=2에서 m>=2이면 극한값이 alpha(m-r)이므로 L(m)<0은 m<r이고, 자연수 2와 3만 해당되도록 r의 범위가 3<r<=4가 되는 수직선 필기. — t=2에서는 m<r인 자연수를 세어 음수 극한의 개수를 결정한다.

조건 (나)는 음수가 되는 자연수 $m$ $m$이 정확히 두 개라고 말한다. $m=1$ $m=1$은 제외되었으므로 그 두 자연수는 $2,3$ $2,3$이어야 한다. 따라서 조건은 다음과 같이 정리된다.

\{m\in\mathbb N:\lim_{x\to m+}\frac{g(x)}{x(x-2)}<0\}=\{2,3\}, \qquad 3<r\le4

두 값을 비교해 3과 대응시킨다

이제 조건 (나)의 오른쪽 집합도 $\{2,3\}$ $\{2,3\}$이어야 한다. $t=2$ $t=2$이고 $-1<2$ $-1<2$, $1<2$ $1<2$이므로 두 값은 모두 $g(x)=-f(x)$ $g(x)=-f(x)$ 쪽에서 계산한다.

먼저

f(-1)=\alpha(-1)(-3)(-1-r)=-3\alpha(r+1)

이므로 $g(-1)=3\alpha(r+1)$ $g(-1)=3\alpha(r+1)$이다. 또

f(1)=\alpha(1)(-1)(1-r)=\alpha(r-1)

이므로 $g(1)=-\alpha(r-1)$ $g(1)=-\alpha(r-1)$이고, $-\frac72g(1)=\frac72\alpha(r-1)$ $-\frac72g(1)=\frac72\alpha(r-1)$이다.

따라서 두 값의 집합은 정확히 다음과 같아야 한다.

\left\{3\alpha(r+1),\frac72\alpha(r-1)\right\}=\{2,3\}

A=g(-1)=3alpha(r+1), B=-7/2 g(1)=7/2 alpha(r-1)로 두고 A-B=alpha(13-r)/2>0을 이용해 A=3, B=2로 대응시킨 뒤 r=11/3, alpha=3/14를 구하는 계산 필기. — 두 값을 먼저 비교하면 대응이 한 가지로 정해진다.

두 값을 각각 $A=3\alpha(r+1)$ $A=3\alpha(r+1)$, $B=\frac72\alpha(r-1)$ $B=\frac72\alpha(r-1)$이라고 하자. $3<r\le4$ $3<r\le4$이므로

A-B =3\alpha(r+1)-\frac72\alpha(r-1) =\alpha\frac{13-r}{2} >0

따라서 큰 값인 $A$ $A$가 $3$ $3$, 작은 값인 $B$ $B$가 $2$ $2$에 대응된다.

즉 두 식을 얻는다.

3\alpha(r+1)=3,\qquad \frac72\alpha(r-1)=2

첫 식에서 $\alpha=\frac1{r+1}$ $\alpha=\frac1{r+1}$이고, 이를 둘째 식에 대입하면 다음과 같다.

\frac72\cdot\frac{r-1}{r+1}=2

정리하면 $7(r-1)=4(r+1)$ $7(r-1)=4(r+1)$이므로 $3r=11$ $3r=11$이고, $r=\frac{11}{3}$ $r=\frac{11}{3}$이다. 따라서 $\alpha=\frac1{r+1}=\frac3{14}$ $\alpha=\frac1{r+1}=\frac3{14}$이다.

마지막 값은 정의된 쪽을 확인하고 대입한다

지금까지 얻은 값은 다음과 같다.

f(x)=\frac3{14}x(x-2)\left(x-\frac{11}{3}\right),\qquad t=2

구하려는 값은 $g(-5)$ $g(-5)$이고 $-5<2$ $-5<2$이므로 $g(-5)=-f(-5)$ $g(-5)=-f(-5)$이다.

계산하면 다음과 같다.

\begin{aligned} f(-5) &=\frac3{14}(-5)(-7)\left(-5-\frac{11}{3}\right)\\ &=\frac3{14}\cdot35\cdot\left(-\frac{26}{3}\right)\\ &=-65 \end{aligned}

따라서 $g(-5)=65$ $g(-5)=65$이다.

조건에 다시 넣어 확인한다

구한 값은 $t=2$ $t=2$, $r=\frac{11}{3}$ $r=\frac{11}{3}$, $\alpha=\frac3{14}$ $\alpha=\frac3{14}$이다. 이때 $3<r\le4$ $3<r\le4$이므로 음수 극한을 만드는 자연수는 $2,3$ $2,3$뿐이다.