첫째항과 공차가 같으므로 a_n=nd이고 d≠0이다 i=1,2,3 조건은 b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}이라는 연속한 세 등비항을 만든다 연속한 세 등비항의 가운데 항 제곱 조건으로 d=1/4, 공비 1/3이 결정된다 b_{k+1}=3에서 b_1=3^{k+1}이고, 부등식은 32/3 < b_1 < 92/3으로 정리된다 짝수 번째 항만 모으면 첫항 b_2=9, 공비 1/9인 등비급수가 된다

수능 미적분 29번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 미적분 29번 풀이 | 등차수열 조건과 등비급수

정답

핵심 요약

a_n=nd로 두고 연속한 세 등비항 조건에서 d=1/4와 공비 1/3을 얻은 뒤, 부등식을 b_1 범위로 바꾸어 b_1=27을 찾고 짝수항 합으로 p+q=97을 계산한다.

들어가기 앞서…

이 문제는 무한급수부터 밀어붙이면 길어진다. 먼저 작은 항을 써서 두 수열의 모양을 줄이고, 부등식은 마지막에 남은 위치 정보 $k$ $k$를 고르는 조건으로 쓰는 편이 빠르다.

특히 첫째항과 공차가 같다는 조건은 $a_n=nd$ $a_n=nd$로 줄이라는 신호이고, $i=1,2,3$ $i=1,2,3$ 조건은 등비수열의 연속한 세 항을 만들어 준다.

문제

문제 텍스트 주관식

첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$ $\{a_n\}$과 등비수열 $\{b_n\}$ $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

어떤 자연수 $k$ $k$에 대하여

b_{k+i}=\frac1{a_i}-1\qquad(i=1,2,3)

이다.

부등식

0<\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_n-\frac1{a_na_{n+1}}\right)<30

이 성립할 때,

a_2\times\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\frac qp

이다. $p+q$ $p+q$의 값을 구하시오. 단, $a_1\ne0$ $a_1\ne0$이고, $p$ $p$와 $q$ $q$는 서로소인 자연수이다.

정답

$97$ $97$

풀이

작은 항부터 써서 조건의 위치를 본다

첫째항과 공차를 모두 $d$ $d$라고 두면 $a_1=d$ $a_1=d$, $a_2=2d$ $a_2=2d$, $a_3=3d$ $a_3=3d$이다. 따라서 전체 등차수열은

a_n=nd

로 정리된다. 문제에서 $a_1\ne0$ $a_1\ne0$이므로 $d\ne0$ $d\ne0$이다.

이제 조건

b_{k+i}=\frac1{a_i}-1\qquad(i=1,2,3)

에 $i=1,2,3$ $i=1,2,3$을 넣으면 $b_{k+1}$ $b_{k+1}$, $b_{k+2}$ $b_{k+2}$, $b_{k+3}$ $b_{k+3}$이 차례로 나온다. 즉 등비수열 안의 연속한 세 항이 한꺼번에 주어진다.

첫째항과 공차가 모두 d일 때 a_1=d, a_2=2d, a_3=3d가 되고, i=1,2,3 조건이 b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}이라는 연속한 세 등비항을 만드는 구조 표. — 등차수열 조건과 i=1,2,3 조건을 작은 항 표로 먼저 구조화한다.

연속한 세 등비항으로 d를 구한다

$a_i=id$ $a_i=id$를 대입하면 세 항은 다음과 같다.

b_{k+1}=\frac1d-1,\quad b_{k+2}=\frac1{2d}-1,\quad b_{k+3}=\frac1{3d}-1

이 세 항이 등비수열의 연속한 세 항이므로 가운데 항의 제곱과 양옆 항의 곱이 같다.

\left(\frac1{2d}-1\right)^2 =\left(\frac1d-1\right)\left(\frac1{3d}-1\right)

정리하면 아래 식을 얻는다.

\frac1{4d^2}-\frac1d+1 =\frac1{3d^2}-\frac4{3d}+1, \qquad \frac1{12d^2}=\frac1{3d}

$d\ne0$ $d\ne0$이므로 양변에 $12d^2$ $12d^2$을 곱할 수 있고, $1=4d$ $1=4d$에서 다음 값을 얻는다.

d=\frac14

따라서 수열 $a_n$ $a_n$은 다음과 같다.

a_n=\frac n4

다시 세 항에 넣으면 아래와 같다.

b_{k+1}=3,\qquad b_{k+2}=1,\qquad b_{k+3}=\frac13

그러므로 등비수열 $\{b_n\}$ $\{b_n\}$의 공비는 $\frac13$ $\frac13$이다.

연속 세 등비항 조건을 전개해 1/(12d^2)=1/(3d)를 얻고 d=1/4, b_{k+1}=3, b_{k+2}=1, b_{k+3}=1/3, 공비 1/3을 확정하는 계산 압축 필기. — 연속한 세 등비항 조건 하나로 d와 공비가 확정된다.

부등식은 b1의 후보를 거르는 조건이다

여기까지는 $a_n$ $a_n$의 모양과 $\{b_n\}$ $\{b_n\}$의 공비를 정한 단계이다. 아직 $k$ $k$는 정해지지 않았다. $k$ $k$는 세 항 $3,1,\frac13$ $3,1,\frac13$이 등비수열 안에서 어디에 놓이는지를 나타내는 위치 정보이다.

$b_{k+1}=3$ $b_{k+1}=3$이고 공비가 $\frac13$ $\frac13$이므로, 한 칸 앞으로 거슬러 올라갈 때마다 $3$ $3$을 곱한다. $b_{k+1}$ $b_{k+1}$에서 $b_1$ $b_1$까지는 $k$ $k$칸을 거슬러 올라가므로 다음과 같다.

b_1=3\cdot3^k=3^{k+1}

$k$ $k$가 자연수이므로 가능한 $b_1$ $b_1$의 값은 $9,27,81,\cdots$ $9,27,81,\cdots$처럼 $3^2$ $3^2$부터 시작한다.

이제 부등식을 $b_1$ $b_1$의 범위로 바꾼다. 먼저 $a_n=\frac n4$ $a_n=\frac n4$이므로

\frac1{a_na_{n+1}}=\frac{16}{n(n+1)}

망원급수에 의해 다음 합을 얻는다.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a_na_{n+1}}=16

또 $\{b_n\}$ $\{b_n\}$은 첫째항 $b_1$ $b_1$, 공비 $\frac13$ $\frac13$인 등비수열이므로 합은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^{\infty}b_n =\frac{b_1}{1-\frac13} =\frac32 b_1

따라서 원래 부등식은 아래와 같이 바뀐다.

0<\frac32 b_1-16<30

이를 정리하면 다음과 같다.

\frac{32}{3}<b_1<\frac{92}{3}

공비 1/3인 등비수열에서 b_{k+1}=3을 기준으로 앞쪽으로 갈 때마다 3을 곱해 b_1=3^{k+1}이 되고, 부등식 범위 안의 3의 거듭제곱 후보가 27뿐임을 보여 주는 수직선 필터. — b1은 3의 거듭제곱 후보이고, 부등식 범위 안에는 27만 남는다.

범위와 거듭제곱 후보를 비교하면 다음과 같다.

9<\frac{32}{3}<27<\frac{92}{3}<81

따라서 조건을 만족하는 첫째항은 $b_1=27$ $b_1=27$뿐이다. 이때 $b_1=3^{k+1}=3^3$ $b_1=3^{k+1}=3^3$이므로 $k=2$ $k=2$이다.

짝수 번째 항만 모아 새 등비급수로 계산한다

문제의 최종 목표는 전체 등비급수가 아니라 $a_2\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}$ $a_2\sum_{n=1}^{\infty}b_{2n}$이다. 이미 $b_1=27$ $b_1=27$이고 공비가 $\frac13$ $\frac13$이므로 $b_2=9$ $b_2=9$이다.

짝수 번째 항만 모으면 $b_2,b_4,b_6,\cdots$ $b_2,b_4,b_6,\cdots$가 된다. 두 칸씩 건너뛰므로 새 공비는 $\frac13$ $\frac13$이 아니라 $\left(\frac13\right)^2=\frac19$ $\left(\frac13\right)^2=\frac19$이다.