|a_n|+a_n은 양수항의 두 배이고 |a_n|-a_n은 음수항 절댓값의 두 배이다 두 급수가 모두 양수이므로 공비는 음수이고 항의 부호가 번갈아야 한다 양수항의 합이 더 크므로 첫째항은 양수이며 a_n=5(-1/2)^{n-1}이다 (-1)^{k(k+1)/2}의 부호는 --++가 네 항마다 반복된다 극한합은 (-1/2)^{m-1}로 정리되어 양수 조건 때문에 m은 홀수만 가능하다

수능 미적분 29번 4점 킬러

발행: 2026년 6월 28일

2025학년도 수능 미적분 29번 풀이 | 절댓값 등비급수와 부호 주기

정답

핵심 요약

|a_n|+a_n과 |a_n|-a_n이 각각 양수항과 음수항을 분리한다는 점으로 등비수열을 정하고, --++ 부호 주기를 네 항 블록 급수로 계산한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 등비수열의 일반항을 바로 세우기보다 절댓값이 붙은 두 급수를 먼저 해석해야 한다. $|a_n|+a_n$ 과 $|a_n|-a_n$ 이 어떤 항만 남기는지 보면 공비의 부호와 첫째항의 부호가 빠르게 정리된다.

뒤쪽의 긴 극한합도 마찬가지다. 합 공식부터 쓰기보다 앞의 몇 항을 써서 부호 주기를 확인하는 것이 계산을 짧게 만든다.

문제

문제 텍스트 주관식

등비수열 $\{a_n\}$ 이

\sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|+a_n)=\frac{40}{3},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}(|a_n|-a_n)=\frac{20}{3}

을 만족시킨다. 부등식

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}\times a_{m+k}>\frac{1}{700}

을 만족시키는 모든 자연수 $m$ 의 값의 합을 구하시오.

정답

풀이

절댓값 두 식을 부호별로 본다

먼저 $|a_n|+a_n$ 과 $|a_n|-a_n$ 이 무엇을 세는지 확인한다. $a_n>0$ 이면

|a_n|+a_n=2a_n,\qquad |a_n|-a_n=0

이고, $a_n<0$ 이면

|a_n|+a_n=0,\qquad |a_n|-a_n=-2a_n

이다. 따라서 첫 번째 급수는 양수항의 합의 두 배, 두 번째 급수는 음수항의 절댓값 합의 두 배를 나타낸다.

문제의 두 조건은 곧 다음 뜻이다.

\text{양수항의 합}=\frac{20}{3},\qquad \text{음수항의 절댓값 합}=\frac{10}{3}

|a_n|+a_n은 양수항의 두 배, |a_n|-a_n은 음수항 절댓값의 두 배이므로 공비가 음수이고 a_n=5(-1/2)^(n-1)로 결정되는 표. — 절댓값 급수 조건은 양수항과 음수항을 분리하라는 신호다.

공비가 양수이면 모든 항의 부호가 같으므로 두 급수 중 하나는 $0$ 이 된다. 그런데 두 급수는 모두 양수이므로 공비는 음수다.

공비를 $-q$ 라 두면 무한급수가 수렴해야 하므로 $0<q<1$ 이다. 또 양수항의 합이 음수항의 절댓값 합보다 크므로 첫째항은 양수다. $a_1=A\,(A>0)$ 라 두면 다음과 같다.

a_n=A(-q)^{n-1}

양수항과 음수항 절댓값의 합을 쓰면

\frac{A}{1-q^2}=\frac{20}{3},\qquad \frac{Aq}{1-q^2}=\frac{10}{3}

이다. 두 식을 나누면 $q=\frac12$ 이고, 다시 대입하면 $A=5$ 이다. 따라서 등비수열은 다음과 같이 결정된다.

a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1}

긴 합은 부호 주기부터 확인한다

이제 남은 부등식의 왼쪽을 $m$ 에 대한 식으로 바꾼다. 먼저 $(-1)^{\frac{k(k+1)}2}$ 의 부호를 앞에서부터 쓰면 다음과 같다.

\begin{array}{c|cccccccc} k&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline (-1)^{\frac{k(k+1)}2}&-&-&+&+&-&-&+&+ \end{array}

부호가 $--++$ 로 네 항마다 반복된다. 또

a_{m+k}=5\left(-\frac12\right)^{m-1}\left(-\frac12\right)^k

이므로, $m$ 에만 관계되는 부분을 밖으로 빼면 다음과 같다.

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}a_{m+k} =5\left(-\frac12\right)^{m-1} \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}\left(-\frac12\right)^k

원래 위끝은 $2n$ 이지만 항의 절댓값이 등비적으로 줄어드는 수렴급수이므로, 극한에서는 같은 무한급수로 정리된다.

네 항 블록 하나만 계산한다

이제 내부 급수만 계산하면 된다. 앞의 네 항은 부호 주기 $--++$ 와 $\left(-\frac12\right)^k$ 가 함께 곱해져 다음 값을 만든다.

\frac12-\frac14-\frac18+\frac1{16}=\frac3{16}

다음 네 항은 모두 앞 네 항에 $\left(-\frac12\right)^4=\frac1{16}$ 을 곱한 것이므로, 내부 급수는 등비급수이다.

\frac3{16}\left(1+\frac1{16}+\frac1{16^2}+\cdots\right) =\frac3{16}\cdot\frac{16}{15} =\frac15

(-1)^(k(k+1)/2)의 부호가 --++ 주기이고 첫 네 항 블록 1/2-1/4-1/8+1/16=3/16이라 내부 급수 합이 1/5가 되는 계산. — 긴 합은 네 항 블록 하나를 계산한 뒤 등비급수로 처리한다.

따라서 극한합은 다음과 같이 단순해진다.

5\left(-\frac12\right)^{m-1}\cdot\frac15 =\left(-\frac12\right)^{m-1}

원래 부등식은 아래 하나로 바뀐다.

\left(-\frac12\right)^{m-1}>\frac1{700}

부호로 먼저 m을 줄인다

오른쪽은 양수다. 따라서 왼쪽도 양수여야 하므로 $m-1$ 은 짝수이고, $m$ 은 홀수다. 짝수 $m$ 은 크기 비교를 할 필요 없이 제외된다.

$m$ 이 홀수이면

\left(-\frac12\right)^{m-1}=\frac1{2^{m-1}}

이므로 부등식은 다음과 같다.

\frac1{2^{m-1}}>\frac1{700}

양수의 역수끼리 비교하면 $2^{m-1}<700$ 이다. 경계는 다음과 같다.

2^9=512<700,\qquad 2^{10}=1024>700

따라서 가능한 홀수 자연수는 $m=1,3,5,7,9$ 이다.

극한합이 (-1/2)^(m-1)>1/700으로 줄어들고 오른쪽이 양수라 m은 홀수, 2^(m-1)<700에서 m=1,3,5,7,9만 남는 경계 판단. — 양수 조건과 2의 거듭제곱 경계로 가능한 m을 거른다.

구하는 합은 다음과 같다.

1+3+5+7+9=25

따라서 정답은 $25$ 이다.

검산과 다시 사용할 판단 기준

$a_n=5\left(-\frac12\right)^{n-1}$ 을 처음 조건에 넣으면 양수항의 합은 $5+\frac54+\frac5{16}+\cdots=\frac{20}{3}$ 이고, 음수항의 절댓값 합은 $\frac52+\frac58+\frac5{32}+\cdots=\frac{10}{3}$ 이다. 원래 두 급수는 각각 $\frac{40}{3}$ , $\frac{20}{3}$ 이 된다.

마지막 경계도 맞다. $m=9$ 이면 왼쪽은 $\frac1{256}$ 으로 $\frac1{700}$ 보다 크고, 다음 홀수인 $m=11$ 이면 $\frac1{1024}$ 로 $\frac1{700}$ 보다 작다. 따라서 누락된 자연수 $m$ 은 없다.

이 문제에서 남길 판단 기준은 두 가지다. $|a_n|+a_n$ 과 $|a_n|-a_n$ 이 동시에 나오면 전체합이 아니라 양수항과 음수항을 분리한다. 그리고 긴 합에 $(-1)^{\text{식}}$ 이 붙으면 먼저 부호 주기를 확인한다.