수능 수학 13번 4점 일반
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2025학년도 수능 수학 13번 풀이 | 정적분과 두 넓이의 차

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이 문제는 교점 QQ의 좌표를 끝까지 구하는 문제가 아니다. 먼저 두 근 조건으로 삼차함수를 빠르게 정하고, 선분 OPOP를 직선 y=4xy=4x의 한 구간으로 읽으면 된다.

핵심은 넓이 AA, BB를 각각 계산하는 데 있지 않다. 두 영역이 같은 두 그래프 사이에서 QQ를 기준으로 나뉘므로, 넓이의 차에서 중간 경계 qq가 사라지는지를 보는 것이 계산을 줄인다.

문제

2025학년도 수능 수학 공통 13번 문제. 최고차항 계수 1인 삼차함수 f가 f(1)=f(2)=0, f'(0)=-7을 만족하고, 선분 OP와 곡선의 교점 Q가 나누는 넓이 A, B에 대해 B-A를 묻는 문항.
2025학년도 대학수학능력시험 수학 공통 13번 문제
문제 텍스트 객관식

최고차항의 계수가 11인 삼차함수 f(x)f(x)가

f(1)=f(2)=0,f′(0)=−7f(1)=f(2)=0,\qquad f'(0)=-7

을 만족시킨다. 원점 OO와 점 P(3,f(3))P(3,f(3))에 대하여 선분 OPOP가 곡선 y=f(x)y=f(x)와 만나는 점 중 PP가 아닌 점을 QQ라 하자.

곡선 y=f(x)y=f(x)와 yy축 및 선분 OQOQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 AA, 곡선 y=f(x)y=f(x)와 선분 PQPQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 BB라 할 때, B−AB-A의 값은?

  1. ① 374\frac{37}{4}
  2. ② 394\frac{39}{4}
  3. ③ 414\frac{41}{4}
  4. ④ 434\frac{43}{4}
  5. ⑤ 454\frac{45}{4}

정답

⑤

풀이

먼저 보이는 두 근을 적는다

조건 f(1)=f(2)=0f(1)=f(2)=0을 보면 x=1x=1, x=2x=2가 근이다. 최고차항의 계수가 11이므로 남은 한 근을 kk라고 두면 함수는 다음처럼 쓸 수 있다.

f(x)=(x−1)(x−2)(x−k)f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)

여기서 f′(0)=−7f'(0)=-7은 남은 근 kk를 정하는 조건이다. 전개해서 미분해도 되지만, x=0x=0에서의 미분값만 필요하므로 곱의 미분을 바로 대입한다.

f(1)=f(2)=0에서 f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)로 두고 f'(0)=3k+2=-7을 풀어 k=-3, f(x)=x^3-7x+6을 얻는 계산.
두 근 조건에서 삼차함수를 인수 형태로 세우고 남은 근을 구한다.

곱의 미분을 쓰면 다음과 같다.

f′(x)=(x−2)(x−k)+(x−1)(x−k)+(x−1)(x−2)f'(x)=(x-2)(x-k)+(x-1)(x-k)+(x-1)(x-2)

x=0x=0을 대입하면 f′(0)=2k+k+2=3k+2f'(0)=2k+k+2=3k+2이다. 따라서 3k+2=−73k+2=-7이므로 k=−3k=-3이다.

결국 함수는 다음과 같이 정해진다.

f(x)=(x−1)(x−2)(x+3)=x3−7x+6f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)=x^3-7x+6

삼차함수에서 근 두 개와 최고차항의 계수가 함께 주어지면 일반형보다 인수분해 형태로 시작하는 편이 자유도를 가장 빨리 줄인다.

선분 OP를 직선과 구간으로 읽는다

이제 점 PP를 확인한다. f(3)=27−21+6=12f(3)=27-21+6=12이므로 P=(3,12)P=(3,12)이다. 원점과 PP를 잇는 선분 OPOP는 직선 y=4xy=4x 위의 0≤x≤30\le x\le3 부분이다.

따라서 비교해야 할 두 그래프는 y=f(x)y=f(x)와 y=4xy=4x이다. QQ의 xx좌표를 qq라고 두면 Q=(q,4q)Q=(q,4q)이고, 선분 위의 점이므로 0<q<30<q<3이다.

위아래 관계도 확인해야 한다. x=0x=0에서는 f(0)=6f(0)=6이고 4x=04x=0이므로 곡선이 위에 있다. 반면 x=2x=2에서는 f(2)=0f(2)=0이고 4x=84x=8이므로 직선이 위에 있다.

또 P=(3,12)P=(3,12)가 두 그래프의 공통점이므로 x=3x=3은 f(x)−4xf(x)-4x의 근이다. 실제로 정리하면 다음과 같다.

f(x)−4x=x3−11x+6=(x−3)(x2+3x−2)f(x)-4x=x^3-11x+6=(x-3)(x^2+3x-2)

x2+3x−2x^2+3x-2는 양의 근 하나와 음의 근 하나를 가지므로, 0≤x≤30\le x\le3에서 교점은 x=qx=q와 x=3x=3뿐이다. 따라서 0≤x≤q0\le x\le q에서는 곡선이 위, q≤x≤3q\le x\le3에서는 직선이 위라는 구조가 중간에 다시 바뀌지 않는다.

A와 B를 따로 계산하지 않는다

넓이를 식으로 바꾸면 0≤x≤q0\le x\le q에서는 곡선이 직선보다 위에 있으므로 다음과 같다.

A=∫0q{f(x)−4x} dxA=\int_0^q \{f(x)-4x\}\,dx

q≤x≤3q\le x\le3에서는 선분 PQPQ가 놓인 직선 y=4xy=4x가 곡선보다 위에 있다.

B=∫q3{4x−f(x)} dxB=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx
A=∫_0^q(f-4x)dx, B=∫_q^3(4x-f)dx를 빼면 중간 경계 q가 사라져 B-A=∫_0^3(4x-f)dx가 되는 넓이 결합.
A와 B를 따로 구하지 않고 B-A에서 중간 경계 q를 없앤다.

여기서 바로 AA, BB를 각각 계산하지 않는다. 물어보는 값은 B−AB-A이고, 두 넓이는 같은 두 그래프 사이에서 QQ를 기준으로 나뉜 것이다. 두 식을 빼면 다음처럼 중간 경계 qq가 최종 구간 안으로 흡수된다.

B−A=∫q3{4x−f(x)} dx−∫0q{f(x)−4x} dx=∫q3{4x−f(x)} dx+∫0q{4x−f(x)} dx=∫03{4x−f(x)} dx\begin{aligned} B-A &=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx-\int_0^q \{f(x)-4x\}\,dx\\ &=\int_q^3 \{4x-f(x)\}\,dx+\int_0^q \{4x-f(x)\}\,dx\\ &=\int_0^3 \{4x-f(x)\}\,dx \end{aligned}

따라서 QQ의 정확한 좌표는 필요하지 않다.

마지막 적분만 수행한다

f(x)=x3−7x+6f(x)=x^3-7x+6이므로 적분할 함수는 다음과 같다.

4x−f(x)=−x3+11x−64x-f(x)=-x^3+11x-6

이제 00부터 33까지 적분한다.

B−A=∫03(−x3+11x−6) dx=[−x44+11x22−6x]03=−814+992−18=454\begin{aligned} B-A &=\int_0^3(-x^3+11x-6)\,dx\\ &=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{11x^2}{2}-6x\right]_0^3\\ &=-\frac{81}{4}+\frac{99}{2}-18\\ &=\frac{45}{4} \end{aligned}

따라서 B−A=454B-A=\frac{45}{4}이고, 정답은 ⑤이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

삼차함수에서 근 조건과 최고차항의 계수가 함께 나오면 먼저 인수 형태를 잡는다. 이 문제에서는 f(x)=(x−1)(x−2)(x−k)f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)가 가장 짧은 출발점이다.

선분이 나오면 직선의 방정식뿐 아니라 그 직선의 구간도 함께 읽어야 한다. 여기서는 선분 OPOP가 y=4xy=4x의 0≤x≤30\le x\le3 부분이다.

마지막으로 두 넓이가 같은 두 그래프 사이에서 한 교점을 기준으로 나뉘면, 좌표를 구하기 전에 넓이의 합이나 차에서 경계점이 사라지는지 확인한다. 이 판단 때문에 QQ의 좌표를 구하지 않고도 B−AB-A를 바로 계산할 수 있다.