2025학년도 수능 확률과 통계 28번 풀이 | 함수 개수와 중복조합

들어가기 앞서…

이 문제는 함수 전체를 한꺼번에 세는 문제가 아니다. 두 조건에 반복해서 등장하는 $f(1)$과 $f(6)$을 먼저 고정하고, 가운데 네 값을 정렬된 선택으로 바꾸어 세는 문제이다.

특히 $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$가 이미 주어져 있으므로, 가운데 네 값을 독립적으로 뽑는 $m^4$ 계산으로 가면 안 된다. 비감소 순서의 네 칸을 채우는 중복조합으로 바꾸어야 한다.

문제

정답

②

풀이

양끝값부터 고정한다

처음부터 $f:X\to X$ 전체를 세려고 하면 경우가 너무 넓다. 먼저 두 조건을 훑어 보면 둘 다 $f(1)$과 $f(6)$을 중심으로 움직인다. 하나는 곱 $f(1)f(6)$을 제한하고, 다른 하나는 $2f(1)$과 $2f(6)$을 부등식의 양끝에 놓는다.

그래서 $a=f(1),\ b=f(6)$으로 둔다. 조건 (나)의 양끝만 먼저 보면 $2a\le f(2)\le\cdots\le f(5)\le2b$이므로, 중간 네 값이 존재하려면 $2a\le2b$, 즉 $a\le b$이어야 한다. 이 한 줄 때문에 곱이 같은 대칭 쌍을 둘 다 볼 필요가 없어진다.

조건 (가)에서 $ab$는 $6$의 약수이므로 $ab\in\{1,2,3,6\}$이다. 여기에 $a\le b$를 함께 적용하면 가능한 양끝값은 다음 다섯 가지뿐이다.

이제 함수 전체의 경우를 세는 문제가 아니라, 위 다섯 가지 양끝값 각각에 대해 가운데 네 칸 $f(2),f(3),f(4),f(5)$를 채우는 문제로 바뀐다.

가운데 네 칸은 정렬된 선택이다

양끝값 $(a,b)$가 정해졌다고 하자. 조건 (나)는 가운데 네 값이 $2a$ 이상 $2b$ 이하이고, 동시에

로 정렬되어 있다는 뜻이다. 따라서 네 값을 독립적으로 고르는 문제가 아니다. 가능한 값의 종류가 $m$개라면, 정렬된 네 칸을 채우는 경우의 수는 중복조합 ${}_mH_4=\binom{m+3}{4}$이다.

여기서 범위를 한 번 더 확인해야 한다. 공역이 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$이므로 함수값은 항상 $6$ 이하이다. 따라서 가운데 네 값이 실제로 고를 수 있는 값은 $2a$부터 $\min(2b,6)$까지이다.

특히 $(a,b)=(1,6)$일 때 부등식의 오른쪽은 $12$처럼 보이지만, 함수값으로는 $7,8,\ldots,12$를 쓸 수 없다. 실제 상한은 $2b$와 공역의 최댓값 $6$ 중 작은 값이다.

남은 다섯 경우만 계산한다

각 경우마다 가능한 값의 종류 $m$만 세면 된다.

따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 다음과 같다.

조건을 만족시키는 함수의 개수는 $171$이므로 선택지는 ②이다.

다시 풀 때는 양끝값과 정렬 조건을 분리한다

이 문제에서 가장 먼저 볼 것은 함수 전체가 아니라 조건에 반복해서 등장하는 특수한 함수값이다. $f(1)$과 $f(6)$이 곱 조건과 부등식의 양끝에 동시에 등장하므로, 양끝값을 먼저 고정해야 한다.

또 $f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)$처럼 순서가 이미 정해져 있으면 네 값을 독립 선택으로 세지 않는다. 가능한 값의 종류를 세고, 정렬된 네 칸을 채우는 중복조합으로 바꾼다.

마지막으로 공역 제한을 끝까지 유지해야 한다. 부등식에 $2f(6)$이 있어도 함수값은 $X$의 원소이므로 $6$을 넘을 수 없다.