g는 x=0에서 미분가능하므로 오른쪽 이차함수는 값과 기울기를 왼쪽 조각과 맞춰야 한다 g'(x)g'(x-4)=0의 해는 g'의 근 집합 S와 S+4의 합집합이다 서로 다른 실근이 4개가 되려면 세 도함수 근에서 두 번의 겹침이 생겨야 한다 두 음의 근과 양의 근은 4 간격 사슬 -5, -1, 3으로 정해진다

수능 수학 15번 4점 준킬러

발행: 2026년 6월 28일

2025학년도 수능 수학 15번 풀이 | 조각함수와 도함수 근 집합의 이동

정답

②

핵심 요약

x=0에서 미분가능 조건으로 f(x)=bx^2+15x+7을 얻고, 도함수 근 집합과 4만큼 이동한 집합의 두 겹침으로 근을 -5, -1, 3으로 확정해 값을 계산한다.

학습 기록

기록 없음

학습 메모

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들어가기 앞서…

이 문제는 도함수 방정식 $g'(x)g'(x-4)=0$ 을 그대로 전개하는 문제가 아니다. 먼저 조각이 바뀌는 점 $x=0$ 에서 미분가능 조건으로 오른쪽 이차함수의 모양을 줄이고, 그다음 도함수 근의 배치를 본다.

핵심은 $g'$ 의 근 집합과 그 집합을 오른쪽으로 $4$ 만큼 민 집합의 겹침을 읽는 것이다.

문제

문제 텍스트 객관식

상수 $a(a\neq3\sqrt5)$ 와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수

g(x)= \begin{cases} x^3+ax^2+15x+7 & (x\le0)\\ f(x) & (x>0) \end{cases}

이 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
$x$ 에 대한 방정식 $g'(x)g'(x-4)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ 이다.

$g(-2)+g(2)$ 의 값은? [4점]

① $30$
② $32$
③ $34$
④ $36$
⑤ $38$

정답

②

풀이

x=0에서 오른쪽 조각을 먼저 고정한다

조각이 바뀌는 지점은 $x=0$ 이다. $g$ 가 실수 전체에서 미분가능하므로, 오른쪽 이차함수는 $x=0$ 에서 왼쪽 삼차함수와 값과 기울기를 모두 맞춰야 한다.

왼쪽 조각을 $h(x)=x^3+ax^2+15x+7$ 이라 두면 다음과 같다.

h(0)=7,\qquad h'(x)=3x^2+2ax+15,\qquad h'(0)=15

따라서 오른쪽 이차함수 $f(x)$ 는 $f(0)=7$ , $f'(0)=15$ 를 만족해야 한다. 최고차항의 계수가 음수이므로 어떤 $b<0$ 에 대하여

f(x)=bx^2+15x+7

로 쓸 수 있다. 조건 (가)는 오른쪽 이차함수의 상수항과 일차항을 여기까지 고정한다.

x=0에서 미분가능 조건으로 f(x)=bx^2+15x+7이 되고, b<0이므로 g'의 근 위치가 u<v<0<r로 제한되는 구조. — x=0에서 값과 기울기를 맞추면 오른쪽 조각과 도함수 근 위치가 제한된다.

조건 (나)를 근 집합의 이동으로 읽는다

이제 조건 (나)를 본다.

g'(x)g'(x-4)=0

이 식은 $g'(x)=0$ 이거나 $g'(x-4)=0$ 이라는 뜻이다. $g'$ 의 근 집합을 $S$ 라고 하면 $g'(x-4)=0$ 의 해는 $S$ 를 오른쪽으로 $4$ 만큼 민 집합이다.

따라서 조건 (나)의 해 집합은 $S\cup(S+4)$ 이다. 이 문제는 도함수의 근을 찾는 문제이면서 동시에, 그 근들이 $4$ 만큼 이동했을 때 얼마나 겹치는지 보는 문제이다.

g’의 근이 몇 개일 수 있는지 정리한다

$g'$ 는 구간에 따라 다음과 같다.

g'(x)= \begin{cases} 3x^2+2ax+15 & (x<0)\\ 15 & (x=0)\\ 2bx+15 & (x>0) \end{cases}

특히 $g'(0)=15$ 이므로 $x=0$ 은 근이 아니다.

오른쪽에서는 $2bx+15=0$ 을 본다. $b<0$ 이므로 이 방정식은 $x>0$ 에서 근 하나를 갖는다. 그 근을 $r$ 이라 하자.

왼쪽에서는 $3x^2+2ax+15=0$ 의 음의 근만 의미가 있다. 이 이차방정식의 두 근의 곱은 $\frac{15}{3}=5>0$ 이므로, 서로 다른 두 실근이 있으면 두 근의 부호는 같다.

문제에서 $a=3\sqrt5$ 를 제외했기 때문에 왼쪽에서 의미 있는 음의 근은 $0$ 개 또는 $2$ 개이다. 왼쪽 음의 근이 없으면 $S$ 는 오른쪽 근 $r$ 하나뿐이고, $S\cup(S+4)$ 는 두 점에 그친다. 조건 (나)의 네 근을 만들 수 없다.

따라서 왼쪽에서 음의 근 두 개가 반드시 생긴다. 이 두 음의 근과 오른쪽의 양의 근을 작은 순서대로

u<v<0<r

라 두면 $S=\{u,v,r\}$ 이다.

네 근 조건은 4 간격 사슬을 강제한다

$S$ 에 원소가 세 개이므로, $S$ 와 $S+4$ 를 겹침 없이 합치면 후보가 여섯 개다. 그런데 조건 (나)는 서로 다른 실근이 네 개라고 했다. 즉 여섯 후보에서 겹침이 두 번 일어나야 한다.

가능한 겹침은 $u+4=v$ , $u+4=r$ , $v+4=r$ 뿐이다. 이 중 $u+4=r$ 이 다른 겹침과 동시에 성립하면 $u=v$ 또는 $v=r$ 이 되어 불가능하다.

따라서 가능한 구조는 하나뿐이다.

v=u+4,\qquad r=v+4

세 근이 $4$ 간격으로 이어져야 한다.

S={u,v,r}와 S+4의 합집합이 네 점뿐이려면 u+4=v, v+4=r가 되어 u=-5, v=-1, r=3을 강제하는 수직선. — S와 S+4가 두 번 겹치려면 세 근이 4 간격 사슬을 이룬다.

왼쪽 두 근 $u,v$ 는 $3x^2+2ax+15=0$ 의 두 근이므로 $uv=\frac{15}{3}=5$ 이다. 또 $v=u+4$ 이므로 정리하면 다음과 같다.

u(u+4)=5,\qquad u^2+4u-5=0,\qquad (u+5)(u-1)=0

$u$ 는 음수이므로 $u=-5$ 이다. 그러면

u=-5,\qquad v=-1,\qquad r=3

이다.

계수를 정하고 필요한 값만 계산한다

왼쪽 도함수 $3x^2+2ax+15$ 의 두 근이 $-5,-1$ 이므로 아래 식이 성립한다.

3x^2+2ax+15=3(x+5)(x+1)=3x^2+18x+15

따라서 $2a=18$ , 즉 $a=9$ 이다.

오른쪽 도함수 $2bx+15$ 의 근은 $r=3$ 이다. 따라서 $2b\cdot3+15=0$ 이고, $b=-\frac52$ 이다. 그러므로

f(x)=-\frac52x^2+15x+7

이다.

$-2$ 는 왼쪽 조각에 넣고, $2$ 는 오른쪽 조각에 넣는다.

g(-2)=(-2)^3+9(-2)^2+15(-2)+7=5

g(2)=-\frac52\cdot2^2+15\cdot2+7=27

따라서 $g(-2)+g(2)=5+27=32$ 이고, 정답은 ②이다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

조각함수의 미분가능 조건은 조각이 바뀌는 점의 값과 기울기를 먼저 고정한다. 이 문제에서는 $x=0$ 에서 $f(x)=bx^2+15x+7$ , $b<0$ 까지 오른쪽 조각이 줄어든다.

그다음 $g'(x)g'(x-4)=0$ 을 $S\cup(S+4)$ 의 원소 개수로 읽는다. 세 근에서 두 번 겹쳐야 하므로 $4$ 간격 사슬이 강제되고, 도함수의 근은 $-5,-1,3$ 으로 정해진다.

검산할 때는 이동 후 근이 $-1,3,7$ 이 되어 합집합 원소가 $-5,-1,3,7$ 네 개로 맞는지 보면 된다. $x=0$ 은 $g'(0)=15$ 이므로 근으로 세면 안 된다.