2025학년도 수능 확률과 통계 29번 풀이 | 정규분포의 대칭과 표준화

들어가기 앞서…

이 문제는 정규분포 두 개를 바로 표준화하는 문제처럼 보이지만, 먼저 누적확률 조건이 분포의 위치를 어떻게 정하는지 읽어야 한다. 첫 조건은 $X$의 중심이 어디인지를 알려 주고, 둘째 조건은 $Y$가 $X$를 평행이동한 분포임을 알려 준다.

두 분포의 평균과 표준편차 관계가 정해지면 마지막 확률 계산은 표준정규분포표의 한 구간으로 정리된다.

문제

정답

25

풀이

x=20으로 X의 중심을 찾는다

첫 번째 조건에서 바로 넣어 볼 값은 $x=20$이다. 이때 $x$와 $40-x$가 같은 값이 되므로 조건이 가장 단순해진다.

정규분포는 평균을 중심으로 좌우 대칭이고, 연속확률변수에서는 한 점의 확률이 $0$이다. 따라서 $20$을 기준으로 왼쪽 확률과 오른쪽 확률이 같다는 말은 $20$이 $X$의 중심이라는 뜻이다.

전체 조건으로 보아도 같은 결론이 나온다. 임의의 $x$에 대해 $x$와 $40-x$의 중점은 항상 $20$이다. 그러므로 첫 번째 조건은 확률값을 바로 구하라는 조건이 아니라 $X$의 정규분포 곡선의 대칭축을 주는 조건이다.

따라서 $m_1=20$이다.

Y는 X-10과 같은 분포다

두 번째 조건은 다음과 같다.

오른쪽의 $P(X\le x+10)$은 $P(X-10\le x)$와 같다. 따라서 모든 실수 $x$에 대해 아래 식이 성립한다.

누적확률이 모든 $x$에서 같으므로 $Y$는 $X-10$과 같은 분포를 가진다. 앞에서 $X\sim\mathrm{N}(20,\sigma_1^2)$임을 알았으므로, $X-10\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$이다.

따라서 $Y\sim\mathrm{N}(10,\sigma_1^2)$이고, 원래 $Y\sim\mathrm{N}(m_2,\sigma_2^2)$였으므로 $m_2=10$, $\sigma_2=\sigma_1$이다.

이제 구해야 하는 값은 $m_1+\sigma_2$이다. 이미 $m_1=20$이고 $\sigma_2=\sigma_1$이므로, 공통 표준편차를 $\sigma$라 두면 된다.

표준화하면 두 구간이 이어진다

표준정규분포표는 $P(0\le Z\le z)$ 꼴의 값을 준다. 그러므로 두 확률을 따로 표에서 찾기보다, 표준화한 뒤 $0$에서 시작하는 하나의 구간으로 붙는지를 확인한다.

$X$의 평균은 $20$이다. 구간 $[15,20]$은 평균의 왼쪽에서 평균까지 오는 구간이므로 다음과 같이 표준화된다.

$Y$의 평균은 $10$이다. 같은 구간 $[15,20]$은 평균에서 오른쪽으로 $5$부터 $10$까지 떨어진 구간이다.

두 구간은 $\frac5\sigma$에서 바로 이어진다. 한 점의 확률은 $0$이므로 중복을 걱정하지 않아도 된다.

표에서 sigma를 결정한다

문제에서 두 확률의 합이 $0.4772$라고 했다. 표준정규분포표에서 $P(0\le Z\le2.0)=0.4772$이므로 $\frac{10}{\sigma}=2$이다.

따라서 $\sigma=5$이고, $\sigma_2=5$이다. 그러므로 $m_1+\sigma_2=20+5=25$이다.

정답은 25이다.

값이 맞는지 다시 확인한다

$\sigma=5$일 때 첫 확률은 다음과 같다.

둘째 확률은 $P(1\le Z\le2)=0.4772-0.3413=0.1359$이다. 두 값을 더하면 $0.3413+0.1359=0.4772$로 문제의 조건과 일치한다.

다시 풀 때는 표준화 계산보다 분포의 위치 관계를 먼저 본다. 모든 실수 $x$에 대한 누적확률 조건은 한 점의 확률 계산보다 대칭축이나 평행이동을 말하는 경우가 많다.