들어가기 앞서…
이 문제에서 X X X \(X\) 는 동전을 던졌을 때 나온 앞면의 횟수 자체가 아니다. X X X \(X\) 는 19200번 반복 중에서 기록값이 3 3 3 \(3\) 인 시행의 횟수
평균 조건 E ( X ) = 4800 E(X)=4800 E ( X ) = 4800 \(E(X)=4800\) 은 최종 확률값을 바로 주는 조건이 아니라, 성공확률 안에 들어 있는 a a a \(a\) 를 정하는 조건이다. a a a \(a\) 가 정해진 뒤에야 정규근사를 적용할 수 있다.
문제
2026학년도 대학수학능력시험 수학 확률과 통계 29번 문제 문제 텍스트 주관식 6 6 6 \(6\) 이하의 자연수 a a a \(a\) 에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 a a a \(a\) 보다 작거나 같으면 동전을 5 5 5 \(5\) 번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고, 나온 눈의 수가 a a a \(a\) 보다 크면 동전을 3 3 3 \(3\) 번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.
이 시행을 19200 19200 19200 \(19200\) 번 반복하여 기록한 수가 3 3 3 \(3\) 인 횟수를 확률변수 X X X \(X\) 라 하자. E ( X ) = 4800 E(X)=4800 E ( X ) = 4800 \(E(X)=4800\) 일 때,
P ( X ≤ 4800 + 30 a ) P(X\le4800+30a) P ( X ≤ 4800 + 30 a ) \[P(X\le4800+30a)\] 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 k k k \(k\) 이다. 1000 × k 1000\times k 1000 × k \(1000\times k\) 의 값을 구하시오.
z z z \(z\) P ( 0 ≤ Z ≤ z ) P(0\le Z\le z) P ( 0 ≤ Z ≤ z ) \(P(0\le Z\le z)\) 0.5 0.5 0.5 \(0.5\) 0.191 0.191 0.191 \(0.191\) 1.0 1.0 1.0 \(1.0\) 0.341 0.341 0.341 \(0.341\) 1.5 1.5 1.5 \(1.5\) 0.433 0.433 0.433 \(0.433\) 2.0 2.0 2.0 \(2.0\) 0.477 0.477 0.477 \(0.477\) 2.5 2.5 2.5 \(2.5\) 0.494 0.494 0.494 \(0.494\) 3.0 3.0 3.0 \(3.0\) 0.499 0.499 0.499 \(0.499\)
정답
977 977 977 \(977\)
풀이
한 시행에서 기록값 3이 되는 경우를 먼저 나눈다
19200 19200 19200 \(19200\) 번 반복이라는 말이 먼저 눈에 들어오지만, 처음부터 전체 반복을 계산할 필요는 없다. X X X \(X\) 는 반복 전체에서 기록값이 3 3 3 \(3\) 인 횟수이므로, 먼저 한 시행에서 기록값 3 3 3 \(3\) 이 나오는 경우만 나누면 된다.
주사위 눈이 a a a \(a\) 이하이면 동전을 5 5 5 \(5\) 번 던지고, a a a \(a\) 보다 크면 동전을 3 3 3 \(3\) 번 던진다. 따라서 기록값 3 3 3 \(3\) 이 성공이 되는 경로는 두 가지다.
주사위 눈 동전 던지는 횟수 기록값이 3 3 3 \(3\) 일 확률 a a a \(a\) 이하5 5 5 \(5\) 번( 5 3 ) ( 1 2 ) 5 = 10 32 \binom{5}{3}\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32} ( 3 5 ) ( 2 1 ) 5 = 32 10 \(\binom{5}{3}\left(\frac12\right)^5=\frac{10}{32}\) a a a \(a\) 초과3 3 3 \(3\) 번( 1 2 ) 3 = 1 8 = 4 32 \left(\frac12\right)^3=\frac18=\frac{4}{32} ( 2 1 ) 3 = 8 1 = 32 4 \(\left(\frac12\right)^3=\frac18=\frac{4}{32}\)
이 분기를 그림으로 정리하면 다음과 같다.
한 시행에서 기록값 3이 되는 두 경로를 성공확률 하나로 묶는다. 주사위 눈이 a a a \(a\) 이하일 확률은 a 6 \frac a6 6 a \(\frac a6\) 이고, a a a \(a\) 보다 클 확률은 6 − a 6 \frac{6-a}{6} 6 6 − a \(\frac{6-a}{6}\) 이다. 한 시행에서 기록값이 3 3 3 \(3\) 일 확률을 p p p \(p\) 라 하면 다음과 같다.
p = a 6 ⋅ 10 32 + 6 − a 6 ⋅ 4 32 = a + 4 32 \begin{aligned}
p
&=\frac a6\cdot\frac{10}{32}+\frac{6-a}{6}\cdot\frac{4}{32}\\
&=\frac{a+4}{32}
\end{aligned} p = 6 a ⋅ 32 10 + 6 6 − a ⋅ 32 4 = 32 a + 4 \[\begin{aligned}
p
&=\frac a6\cdot\frac{10}{32}+\frac{6-a}{6}\cdot\frac{4}{32}\\
&=\frac{a+4}{32}
\end{aligned}\] 따라서 X X X \(X\) 는 성공확률이 a + 4 32 \frac{a+4}{32} 32 a + 4 \(\frac{a+4}{32}\) 인 이항분포
X ∼ B ( 19200 , a + 4 32 ) X\sim B\left(19200,\frac{a+4}{32}\right) X ∼ B ( 19200 , 32 a + 4 ) \[X\sim B\left(19200,\frac{a+4}{32}\right)\] 평균 조건으로 a를 먼저 확정한다
최종적으로 구해야 할 식은 P ( X ≤ 4800 + 30 a ) P(X\le4800+30a) P ( X ≤ 4800 + 30 a ) \(P(X\le4800+30a)\) 이다. 이 확률을 계산하기 전에, 평균 조건으로 a a a \(a\) 부터 정한다.
이항분포의 평균은 n p np n p \(np\) 이므로 E ( X ) = 4800 E(X)=4800 E ( X ) = 4800 \(E(X)=4800\) 에서 아래 식을 얻는다.
19200 ⋅ a + 4 32 = 4800 19200\cdot\frac{a+4}{32}=4800 19200 ⋅ 32 a + 4 = 4800 \[19200\cdot\frac{a+4}{32}=4800\] 19200 ÷ 32 = 600 19200\div32=600 19200 ÷ 32 = 600 \(19200\div32=600\) 이므로 600 ( a + 4 ) = 4800 600(a+4)=4800 600 ( a + 4 ) = 4800 \(600(a+4)=4800\) 이고, 따라서 a + 4 = 8 a+4=8 a + 4 = 8 \(a+4=8\) , a = 4 a=4 a = 4 \(a=4\) 이다. 구한 a = 4 a=4 a = 4 \(a=4\) 는 6 6 6 \(6\) 이하의 자연수 조건에도 맞다.
이제 문제는 a a a \(a\) 가 들어 있는 확률 문제가 아니라, 성공확률이 1 4 \frac14 4 1 \(\frac14\) 인 이항분포 문제로 정리된다.
X ∼ B ( 19200 , 1 4 ) X\sim B\left(19200,\frac14\right) X ∼ B ( 19200 , 4 1 ) \[X\sim B\left(19200,\frac14\right)\] 정규근사에 필요한 평균과 표준편차를 계산한다
시행 횟수 19200 19200 19200 \(19200\) 이 충분히 크고 문제에서 표준정규분포표를 주었으므로, 이항분포를 정규분포로 근사해 읽는다.
평균은 이미 E ( X ) = 4800 E(X)=4800 E ( X ) = 4800 \(E(X)=4800\) 이다. 분산은 다음과 같다.
V ( X ) = 19200 ⋅ 1 4 ⋅ 3 4 = 3600 V(X)=19200\cdot\frac14\cdot\frac34=3600 V ( X ) = 19200 ⋅ 4 1 ⋅ 4 3 = 3600 \[V(X)=19200\cdot\frac14\cdot\frac34=3600\] 따라서 표준편차는 σ ( X ) = 60 \sigma(X)=60 σ ( X ) = 60 \(\sigma(X)=60\) 이고, X X X \(X\) 는 근사적으로 N ( 4800 , 60 2 ) N(4800,60^2) N ( 4800 , 6 0 2 ) \(N(4800,60^2)\) 을 따른다고 볼 수 있다.
구하려는 경계에는 a = 4 a=4 a = 4 \(a=4\) 를 대입한다. 즉 4800 + 30 a = 4800 + 120 = 4920 4800+30a=4800+120=4920 4800 + 30 a = 4800 + 120 = 4920 \(4800+30a=4800+120=4920\) 이므로 P ( X ≤ 4920 ) P(X\le4920) P ( X ≤ 4920 ) \(P(X\le4920)\) 를 구하면 된다.
평균 4800에서 경계 4920까지의 거리는 표준편차 2개이다. 표준정규분포표를 왼쪽 누적확률로 바꾸어 읽는다
경계값 4920 4920 4920 \(4920\) 은 평균 4800 4800 4800 \(4800\) 보다 120 120 120 \(120\) 만큼 크고, 표준편차는 60 60 60 \(60\) 이다. 표준화하면 아래와 같다.
z = 4920 − 4800 60 = 2 z=\frac{4920-4800}{60}=2 z = 60 4920 − 4800 = 2 \[z=\frac{4920-4800}{60}=2\] 따라서 P ( X ≤ 4920 ) ≈ P ( Z ≤ 2.0 ) P(X\le4920)\approx P(Z\le2.0) P ( X ≤ 4920 ) ≈ P ( Z ≤ 2.0 ) \(P(X\le4920)\approx P(Z\le2.0)\) 이다.
표준정규분포표는 P ( 0 ≤ Z ≤ z ) P(0\le Z\le z) P ( 0 ≤ Z ≤ z ) \(P(0\le Z\le z)\) 를 주고 있다. 표에서 P ( 0 ≤ Z ≤ 2.0 ) = 0.477 P(0\le Z\le2.0)=0.477 P ( 0 ≤ Z ≤ 2.0 ) = 0.477 \(P(0\le Z\le2.0)=0.477\) 이므로, 왼쪽 절반의 넓이 0.5 0.5 0.5 \(0.5\) 를 더해야 한다.
P ( Z ≤ 2.0 ) = 0.5 + 0.477 = 0.977 P(Z\le2.0)=0.5+0.477=0.977 P ( Z ≤ 2.0 ) = 0.5 + 0.477 = 0.977 \[P(Z\le2.0)=0.5+0.477=0.977\] 따라서 k = 0.977 k=0.977 k = 0.977 \(k=0.977\) 이고, 1000 k = 977 1000k=977 1000 k = 977 \(1000k=977\)
다시 풀 때는 X의 의미부터 확인한다
이 문제의 첫 분기점은 X X X \(X\) 의 의미다. X X X \(X\) 를 동전 앞면의 횟수로 보면 안 되고, 기록값이 3 3 3 \(3\) 인 시행의 횟수로 보아야 한다.
그다음에는 한 시행의 성공확률 p p p \(p\) 를 만들고, E ( X ) = n p E(X)=np E ( X ) = n p \(E(X)=np\) 로 a a a \(a\) 를 확정한다. 마지막으로 표준편차를 계산해 경계값을 표준화하면 된다. 표가 0 0 0 \(0\) 부터 z z z \(z\) 까지의 넓이를 주기 때문에, 마지막에는 0.477 0.477 0.477 \(0.477\) 에 0.5 0.5 0.5 \(0.5\) 를 더해 누적확률로 바꾸는 것도 잊지 않아야 한다.
