h'(x)=g(x)-f(x)의 부호 변화가 h(x)의 극값 개수를 결정한다 가운데 구간 -1 0에서 항상 극값 하나를 만든다 왼쪽 직선 y=a(x+1)이 포물선 y=-x^2 아래로 내려가지 않는 최대 경계가 a=4이다

수능 수학 15번 4점 준킬러

발행: 2026년 4월 10일
수정: 2026년 6월 28일

2026학년도 수능 수학 15번 풀이 | 적분 함수의 극값과 접선 경계

정답

④

핵심 요약

h'(x)=g(x)-f(x)의 부호 변화를 보고, 왼쪽에서 추가 극값이 생기지 않는 접선 경계 a=4를 찾아 h(3)=7/2를 계산한다.

들어가기 앞서…

적분으로 정의된 함수의 극값 개수를 물으면, 먼저 적분값 전체를 구하려고 하지 않는다. 도함수 $h'(x)=g(x)-f(x)$ $h'(x)=g(x)-f(x)$의 부호가 어디서 바뀌는지를 보면 극값 개수가 바로 정리된다.

이 문제에서는 가운데 구간이 계속 양수이고, 오른쪽 구간이 이미 극값 하나를 만든다. 그래서 실제 핵심은 왼쪽 직선 $y=a(x+1)$ $y=a(x+1)$이 포물선 $y=-x^2$ $y=-x^2$ 아래로 내려가지 않는 최대 경계를 찾는 것이다.

문제

문제 텍스트 객관식

함수 $f(x)$ $f(x)$가

f(x)= \begin{cases} -x^2 & (x<0)\\ x^2-x & (x\ge0) \end{cases}

이고, 양수 $a$ $a$에 대하여 함수 $g(x)$ $g(x)$를

g(x)= \begin{cases} ax+a & (x<-1)\\ 0 & (-1\le x<1)\\ ax-a & (x\ge1) \end{cases}

이라 하자. 함수

h(x)=\int_0^x\{g(t)-f(t)\}\,dt

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$ $a$의 최댓값을 $k$ $k$라 하자. $a=k$ $a=k$일 때, $k+h(3)$ $k+h(3)$의 값은?

① $\frac92$ $\frac92$
② $\frac{11}{2}$ $\frac{11}{2}$
③ $\frac{13}{2}$ $\frac{13}{2}$
④ $\frac{15}{2}$ $\frac{15}{2}$
⑤ $\frac{17}{2}$ $\frac{17}{2}$

정답

④

풀이

적분을 다 하지 말고 증가와 감소부터 표시한다

$h(x)$ $h(x)$가 적분으로 정의되어 있으므로 $h'(x)=g(x)-f(x)$ $h'(x)=g(x)-f(x)$이다. 극값은 $h'(x)=0$ $h'(x)=0$인 점을 모두 세는 방식으로 찾지 않는다. $h'(x)$ $h'(x)$의 부호가 $+$ $+$에서 $-$ $-$로, 또는 $-$ $-$에서 $+$ $+$로 바뀌는 지점을 세어야 한다.

분기점은 $-1$ $-1$, $0$ $0$, $1$ $1$이다. 이 세 점을 기준으로 $g(x)-f(x)$ $g(x)-f(x)$를 나누면 다음과 같다.

h'(x)=g(x)-f(x)= \begin{cases} x^2+ax+a & (x<-1)\\ x^2 & (-1\le x<0)\\ x-x^2 & (0\le x<1)\\ (x-1)(a-x) & (x\ge1) \end{cases}

이제 문제는 네 구간에서 $h'(x)$ $h'(x)$의 부호가 어떻게 이어지는지 보는 문제로 바뀐다.

h'(x)=g(x)-f(x)를 -1, 0, 1 기준 네 구간으로 나누고, 가운데 구간은 계속 양수이며 x=0에서는 부호 변화가 없어 극값이 생기지 않음을 보여 주는 부호표 필기. — 분기점별로 h’(x)의 부호 변화를 먼저 정리한다.

가운데 구간에서 극값이 생기는지 먼저 지운다

가운데 구간은 바로 정리된다. $-1\le x<0$ $-1\le x<0$에서는 $h'(x)=x^2$ $h'(x)=x^2$이고, $0\le x<1$ $0\le x<1$에서는 $h'(x)=x-x^2=x(1-x)$ $h'(x)=x-x^2=x(1-x)$이다.

따라서 $-1<x<1$ $-1<x<1$에서는 $x=0$ $x=0$을 제외하고 $h'(x)>0$ $h'(x)>0$이다. $x=0$ $x=0$에서 $h'(0)=0$ $h'(0)=0$이지만 양쪽에서 모두 $h'(x)$ $h'(x)$가 양수이므로, $h$ $h$는 증가하다가 잠깐 접선의 기울기만 $0$ $0$이 되는 모양이다. 여기서는 극값이 생기지 않는다.

이제 가운데 구간은 극값을 만드는 구간이 아니라, 왼쪽과 오른쪽의 부호를 이어 주는 양수 구간이라고 보면 된다.

오른쪽에서는 극값 하나가 이미 생긴다

$x\ge1$ $x\ge1$에서는 $h'(x)=(x-1)(a-x)$ $h'(x)=(x-1)(a-x)$이다. $a$ $a$가 양수라는 조건 때문에 오른쪽에서는 항상 한 번은 증가에서 감소로 바뀐다.

$0<a\le1$ $0<a\le1$이면 $x>1$ $x>1$에서 $a-x<0$ $a-x<0$이므로 $h'(x)<0$ $h'(x)<0$이다. 그런데 $x<1$ $x<1$ 쪽의 가운데 구간에서는 $h'(x)>0$ $h'(x)>0$이다. 그래서 $x=1$ $x=1$에서 $+$ $+$에서 $-$ $-$로 바뀌어 극대가 하나 생긴다.

$a>1$ $a>1$이면 $1<x<a$ $1<x<a$에서 $h'(x)>0$ $h'(x)>0$, $x>a$ $x>a$에서 $h'(x)<0$ $h'(x)<0$이다. 이때는 $x=1$ $x=1$에서는 부호가 바뀌지 않고, $x=a$ $x=a$에서 $+$ $+$에서 $-$ $-$로 바뀌어 극대가 하나 생긴다.

x가 1 이상일 때 h'(x)=(x-1)(a-x)의 부호를 0<a≤1과 a>1 두 경우로 나누어, 각각 x=1 또는 x=a에서 오른쪽 극대가 정확히 하나 생김을 보여 주는 케이스 필기. — 오른쪽 구간은 a의 위치만 달라질 뿐 극값 하나를 만든다.

결국 오른쪽에서는 $a>0$ $a>0$인 모든 경우에 극값이 정확히 하나 생긴다. 문제는 전체 극값이 오직 하나이어야 하므로, 왼쪽 $x<-1$ $x<-1$에서 극값이 추가로 생기지 않아야 한다.

왼쪽 직선을 움직여 접하는 순간을 찾는다

왼쪽에서는 $h'(x)=g(x)-f(x)$ $h'(x)=g(x)-f(x)$의 부호를 보는 것이므로, 그래프로는 $g(x)$ $g(x)$가 $f(x)$ $f(x)$보다 위에 있는지 아래에 있는지를 보는 일이다.

$x<-1$ $x<-1$에서 $f(x)=-x^2$ $f(x)=-x^2$이고 $g(x)=ax+a=a(x+1)$ $g(x)=ax+a=a(x+1)$이다. 즉 $g$ $g$의 왼쪽 그래프는 항상 점 $(-1,0)$ $(-1,0)$을 지나는 직선이다. $x<-1$ $x<-1$에서는 $x+1<0$ $x+1<0$이므로, $a$ $a$가 커질수록 이 직선은 왼쪽 부분에서 아래로 내려간다.

왼쪽에서 극값이 생기지 않으려면 $g(x)-f(x)$ $g(x)-f(x)$가 음수가 되는 구간이 없어야 한다. 다시 말해 직선 $y=a(x+1)$ $y=a(x+1)$이 포물선 $y=-x^2$ $y=-x^2$ 아래로 내려가면 안 된다.

성립하는 모양과 깨지는 모양은 여기서 갈린다. 직선이 포물선 위에 있으면 $h'(x)\ge0$ $h'(x)\ge0$이라 왼쪽에서 부호 변화가 없다. 직선이 포물선 아래로 파고들면 $h'(x)<0$ $h'(x)<0$인 구간이 생기고, 양쪽 끝에서는 다시 $h'(x)>0$ $h'(x)>0$이므로 왼쪽에서 부호 변화가 두 번 생긴다.

따라서 허용되는 $a$ $a$의 최댓값은 직선이 포물선에 딱 접하는 순간이다. 접점의 $x$ $x$좌표를 $t$ $t$라 하자. 접점은 왼쪽 구간에 있어야 하므로 $t<-1$ $t<-1$이다.

왼쪽 구간에서 직선 y=a(x+1)이 (-1,0)을 지나며 포물선 y=-x^2에 (-2,-4)에서 접할 때 최대 경계 a=4가 됨을 보여 주는 그래프 필기. — 왼쪽에서 극값을 추가하지 않는 최대 경계는 접선 조건에서 나온다.

포물선 $y=-x^2$ $y=-x^2$에서 $x=t$ $x=t$인 점의 기울기는 $-2t$ $-2t$이다. 접선이 $g$ $g$와 같아지는 순간에는 직선의 기울기 $a$ $a$도 $-2t$ $-2t$가 된다. 또 이 접선은 $(-1,0)$ $(-1,0)$을 지나야 한다.

접선의 방정식은 $y+t^2=-2t(x-t)$ $y+t^2=-2t(x-t)$이다. 여기에 $(-1,0)$ $(-1,0)$을 넣으면 아래와 같다.

t^2=-2t(-1-t),\qquad t(t+2)=0

$t<-1$ $t<-1$이므로 $t=-2$ $t=-2$이고, 이때 $a=-2t=4$ $a=-2t=4$이다.

따라서 왼쪽에서 극값을 추가로 만들지 않는 최대 경계는 $a=4$ $a=4$이다. 실제로 이때 $h'(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2$ $h'(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2$이므로 $x=-2$ $x=-2$에서 $0$ $0$이 되지만 부호는 바뀌지 않는다. 접하기만 하는 점은 극값을 만들지 않는다.

그러므로 조건을 만족시키는 $a$ $a$의 최댓값은 $k=4$ $k=4$이다.

필요한 구간만 적분해 값을 구한다

이제 $a=4$ $a=4$일 때 $h(3)$ $h(3)$만 계산하면 된다. $0$ $0$부터 $3$ $3$까지 적분하므로 왼쪽 구간은 더 이상 필요 없다. $0$ $0$부터 $1$ $1$까지와 $1$ $1$부터 $3$ $3$까지로만 나누면 된다.

출발식은 $h(3)=\int_0^1(t-t^2)\,dt+\int_1^3(t-1)(4-t)\,dt$ $h(3)=\int_0^1(t-t^2)\,dt+\int_1^3(t-1)(4-t)\,dt$이다. 계산하면 다음과 같다.

\begin{aligned} h(3) &=\int_0^1(t-t^2)\,dt+\int_1^3(t-1)(4-t)\,dt\\ &=\frac16+\int_1^3(-t^2+5t-4)\,dt\\ &=\frac16+\frac{10}{3} =\frac72 \end{aligned}

따라서 $k+h(3)=4+\frac72=\frac{15}{2}$ $k+h(3)=4+\frac72=\frac{15}{2}$이고, 정답은 ④이다.

a=4일 때 h(3)을 0부터 1, 1부터 3까지 나누어 적분해 h(3)=7/2이고 k+h(3)=15/2가 됨을 보여 주는 계산 압축 필기. — 필요한 구간만 적분하면 h(3)=7/2가 된다.

다시 풀 때는 이 순서만 기억한다

적분으로 정의된 함수의 극값 개수는 먼저 $h'(x)$ $h'(x)$의 부호 변화로 바꾼다. $h'(x)=0$ $h'(x)=0$인 점을 세는 것이 아니라, 실제로 증가와 감소가 바뀌는지를 본다.

이 문제에서는 가운데 구간이 계속 양수이고, 오른쪽 구간이 항상 극값 하나를 만든다. 그래서 전체 조건은 왼쪽에서 극값을 추가하지 않는 조건으로 압축된다.

왼쪽에서는 $y=a(x+1)$ $y=a(x+1)$이 $(-1,0)$ $(-1,0)$을 지나는 직선이라는 점을 잡으면 빠르다. $a$ $a$가 커질수록 왼쪽에서 직선이 내려가므로, 가능한 최댓값은 포물선 $y=-x^2$ $y=-x^2$에 접하는 경계에서 나온다. 이 접점이 $(-2,-4)$ $(-2,-4)$이고 기울기가 $4$ $4$이므로 $k=4$ $k=4$가 된다.

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