들어가기 앞서…
이 문제는 수열의 항을 전부 구하는 문제가 아니다. 마지막에 필요한 합을 먼저 펼쳐 보면, 개별 항이 아니라 반복되는 항 묶음 이 보인다.
주어진 부분합 조건은 S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k S n = ∑ k = 1 n a k \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\) 로 두고 한 칸 밀어 빼면 다룰 수 있다. 핵심은 S n + 1 − S n = a n + 1 S_{n+1}-S_n=a_{n+1} S n + 1 − S n = a n + 1 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 로 합 조건을 항 사이의 관계식으로 바꾸는 것이다.
문제
2026학년도 대학수학능력시험 수학 공통 20번 문제 문제 텍스트 주관식 수열 { a n } \{a_n\} { a n } \(\{a_n\}\) 이 다음 조건을 만족시킨다.
a 1 = 7 a_1=7 a 1 = 7 \(a_1=7\) 2 2 2 \(2\) 이상의 자연수 n n n \(n\) 에 대하여 ∑ k = 1 n a k = 2 3 a n + 1 6 n 2 − 1 6 n + 10 \sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10 k = 1 ∑ n a k = 3 2 a n + 6 1 n 2 − 6 1 n + 10 \[\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\] 이다.
다음은
∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 \sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1} k = 1 ∑ 12 a k + k = 1 ∑ 5 a 2 k + 1 \[\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}\] 의 값을 구하는 과정이다.
2 2 2 \(2\) 이상의 자연수 n n n \(n\) 에 대하여
a n + 1 = ∑ k = 1 n + 1 a k − ∑ k = 1 n a k a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k a n + 1 = k = 1 ∑ n + 1 a k − k = 1 ∑ n a k \[a_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}a_k-\sum_{k=1}^{n}a_k\] 이므로
a n + 1 = 2 3 ( a n + 1 − a n ) + ( 가 ) a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+(\text{가}) a n + 1 = 3 2 ( a n + 1 − a n ) + ( 가 ) \[a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+(\text{가})\] 이고, 이 식을 정리하면
2 a n + a n + 1 = 3 × ( 가 ) (1) 2a_n+a_{n+1}=3\times(\text{가}) \tag{1} 2 a n + a n + 1 = 3 × ( 가 ) ( 1 ) \[2a_n+a_{n+1}=3\times(\text{가}) \tag{1}\] 이다.
∑ k = 1 n a k = 2 3 a n + 1 6 n 2 − 1 6 n + 10 ( n ≥ 2 ) \sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2) k = 1 ∑ n a k = 3 2 a n + 6 1 n 2 − 6 1 n + 10 ( n ≥ 2 ) \[\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2)\] 에서 양변에 n = 2 n=2 n = 2 \(n=2\) 를 대입하면
a 2 = ( 나 ) (2) a_2=(\text{나}) \tag{2} a 2 = ( 나 ) ( 2 ) \[a_2=(\text{나}) \tag{2}\] 이다. (1)과 (2)에 의하여
∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + ∑ k = 1 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) = ( 다 ) \sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+
\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})
=(\text{다}) k = 1 ∑ 12 a k + k = 1 ∑ 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + k = 1 ∑ 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) = ( 다 ) \[\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+
\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})
=(\text{다})\] 이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 f ( n ) f(n) f ( n ) \(f(n)\) 이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 p , q p,q p , q \(p,q\) 라 할 때,
p × q f ( 12 ) \frac{p\times q}{f(12)} f ( 12 ) p × q \[\frac{p\times q}{f(12)}\] 의 값을 구하시오.
정답
130 130 130 \(130\)
풀이
마지막 합에서 필요한 묶음을 먼저 찾는다
구하려는 값은 ∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 \sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1} ∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 \(\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}\) 이다. 두 번째 합은 a 3 , a 5 , a 7 , a 9 , a 11 a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11} a 3 , a 5 , a 7 , a 9 , a 11 \(a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}\) 을 한 번 더 더한다는 뜻이므로 전체 합은 다음처럼 펼쳐진다.
a 1 + a 2 + 2 a 3 + a 4 + 2 a 5 + a 6 + ⋯ + 2 a 11 + a 12 a_1+a_2+2a_3+a_4+2a_5+a_6+\cdots+2a_{11}+a_{12} a 1 + a 2 + 2 a 3 + a 4 + 2 a 5 + a 6 + ⋯ + 2 a 11 + a 12 \[a_1+a_2+2a_3+a_4+2a_5+a_6+\cdots+2a_{11}+a_{12}\] 처음 두 항을 제외하면 계속 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 2a_{2k+1}+a_{2k+2} 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 \(2a_{2k+1}+a_{2k+2}\) 꼴로 묶인다. 따라서 이 문제에서 필요한 것은 a 3 a_3 a 3 \(a_3\) 부터 a 12 a_{12} a 12 \(a_{12}\) 까지를 하나씩 구하는 계산이 아니라, 2 a n + a n + 1 2a_n+a_{n+1} 2 a n + a n + 1 \(2a_n+a_{n+1}\) 을 바로 계산하는 관계식
마지막 합을 펼치면 필요한 묶음이 먼저 보인다. 식으로 쓰면 최종 합은 아래와 같이 정리된다.
∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + ∑ k = 1 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) \sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2}) k = 1 ∑ 12 a k + k = 1 ∑ 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + k = 1 ∑ 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) \[\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})\] 부분합 조건을 한 칸 밀어 뺀다
S n = ∑ k = 1 n a k S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k S n = ∑ k = 1 n a k \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k\) 라고 두자. 주어진 조건은 다음과 같다.
S n = 2 3 a n + 1 6 n 2 − 1 6 n + 10 ( n ≥ 2 ) S_n=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2) S n = 3 2 a n + 6 1 n 2 − 6 1 n + 10 ( n ≥ 2 ) \[S_n=\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\qquad(n\ge2)\] 연속한 두 부분합의 차는 한 항만 남기므로 a n + 1 = S n + 1 − S n a_{n+1}=S_{n+1}-S_n a n + 1 = S n + 1 − S n \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\) 이다.
조건식을 n + 1 n+1 n + 1 \(n+1\) 과 n n n \(n\) 에 대해 빼면 다음과 같다.
a n + 1 = S n + 1 − S n = { 2 3 a n + 1 + 1 6 ( n + 1 ) 2 − 1 6 ( n + 1 ) + 10 } − { 2 3 a n + 1 6 n 2 − 1 6 n + 10 } = 2 3 ( a n + 1 − a n ) + n 3 \begin{aligned}
a_{n+1}
&=S_{n+1}-S_n\\
&=\left\{\frac23a_{n+1}+\frac16(n+1)^2-\frac16(n+1)+10\right\}
-\left\{\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\right\}\\
&=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3
\end{aligned} a n + 1 = S n + 1 − S n = { 3 2 a n + 1 + 6 1 ( n + 1 ) 2 − 6 1 ( n + 1 ) + 10 } − { 3 2 a n + 6 1 n 2 − 6 1 n + 10 } = 3 2 ( a n + 1 − a n ) + 3 n \[\begin{aligned}
a_{n+1}
&=S_{n+1}-S_n\\
&=\left\{\frac23a_{n+1}+\frac16(n+1)^2-\frac16(n+1)+10\right\}
-\left\{\frac23a_n+\frac16n^2-\frac16n+10\right\}\\
&=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3
\end{aligned}\] 따라서 빈칸 (가)에 들어갈 식은 f ( n ) = n 3 f(n)=\frac n3 f ( n ) = 3 n \(f(n)=\frac n3\) 이다.
부분합 조건을 한 칸 밀어 빼면 빈칸 (가)와 핵심 관계식이 나온다. 이 식을 문제의 형태로 정리한다. a n + 1 = 2 3 ( a n + 1 − a n ) + n 3 a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3 a n + 1 = 3 2 ( a n + 1 − a n ) + 3 n \(a_{n+1}=\frac23(a_{n+1}-a_n)+\frac n3\) 의 양변에 3 3 3 \(3\) 을 곱하면 다음과 같다.
3 a n + 1 = 2 a n + 1 − 2 a n + n 3a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+n 3 a n + 1 = 2 a n + 1 − 2 a n + n \[3a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n+n\] 따라서 다음 관계식을 얻는다.
2 a n + a n + 1 = n ( n ≥ 2 ) 2a_n+a_{n+1}=n\qquad(n\ge2) 2 a n + a n + 1 = n ( n ≥ 2 ) \[2a_n+a_{n+1}=n\qquad(n\ge2)\] 이 관계식이 바로 앞에서 찾은 묶음 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 2a_{2k+1}+a_{2k+2} 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 \(2a_{2k+1}+a_{2k+2}\) 에 들어맞는다.
a_2는 원래 조건에 n=2를 넣어 구한다
여기서 조심해야 한다. 방금 얻은 2 a n + a n + 1 = n 2a_n+a_{n+1}=n 2 a n + a n + 1 = n \(2a_n+a_{n+1}=n\) 은 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 \(n\ge2\) 에서만 만든 관계식a 2 a_2 a 2 \(a_2\) 를 구하기 위해 이 식에 n = 1 n=1 n = 1 \(n=1\) 을 넣으면 안 된다.
a 2 a_2 a 2 \(a_2\) 는 원래 부분합 조건에 n = 2 n=2 n = 2 \(n=2\) 를 대입해서 구한다. a 1 = 7 a_1=7 a 1 = 7 \(a_1=7\) 이므로 S 2 = 7 + a 2 S_2=7+a_2 S 2 = 7 + a 2 \(S_2=7+a_2\) 이고, 조건식의 오른쪽은 다음과 같다.
S 2 = 2 3 a 2 + 1 6 ⋅ 2 2 − 1 6 ⋅ 2 + 10 = 2 3 a 2 + 31 3 S_2=\frac23a_2+\frac16\cdot2^2-\frac16\cdot2+10
=\frac23a_2+\frac{31}{3} S 2 = 3 2 a 2 + 6 1 ⋅ 2 2 − 6 1 ⋅ 2 + 10 = 3 2 a 2 + 3 31 \[S_2=\frac23a_2+\frac16\cdot2^2-\frac16\cdot2+10
=\frac23a_2+\frac{31}{3}\] 따라서 7 + a 2 = 2 3 a 2 + 31 3 7+a_2=\frac23a_2+\frac{31}{3} 7 + a 2 = 3 2 a 2 + 3 31 \(7+a_2=\frac23a_2+\frac{31}{3}\) 이고, 정리하면 a 2 = 10 a_2=10 a 2 = 10 \(a_2=10\) 이다.
그러므로 빈칸 (나)의 값은 p = 10 p=10 p = 10 \(p=10\) 이다.
묶음에 바로 대입해 q를 구한다
이제 마지막 합으로 돌아간다.
∑ k = 1 12 a k + ∑ k = 1 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + ∑ k = 1 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) \sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2}) k = 1 ∑ 12 a k + k = 1 ∑ 5 a 2 k + 1 = a 1 + a 2 + k = 1 ∑ 5 ( 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 ) \[\sum_{k=1}^{12}a_k+\sum_{k=1}^{5}a_{2k+1}
=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2a_{2k+1}+a_{2k+2})\] 앞에서 얻은 2 a n + a n + 1 = n 2a_n+a_{n+1}=n 2 a n + a n + 1 = n \(2a_n+a_{n+1}=n\) 에 n = 2 k + 1 n=2k+1 n = 2 k + 1 \(n=2k+1\) 을 넣으면 아래와 같다.
2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 = 2 k + 1 2a_{2k+1}+a_{2k+2}=2k+1 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 = 2 k + 1 \[2a_{2k+1}+a_{2k+2}=2k+1\] k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 k=1,2,3,4,5 k = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \(k=1,2,3,4,5\) 이면 오른쪽 값은 3 , 5 , 7 , 9 , 11 3,5,7,9,11 3 , 5 , 7 , 9 , 11 \(3,5,7,9,11\) 이다.
핵심 관계식을 다섯 묶음에 바로 적용한다. 따라서 빈칸 (다)의 값 q q q \(q\) 는 다음과 같다.
q = a 1 + a 2 + ∑ k = 1 5 ( 2 k + 1 ) = 7 + 10 + ( 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ) = 52 \begin{aligned}
q
&=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2k+1)\\
&=7+10+(3+5+7+9+11)\\
&=52
\end{aligned} q = a 1 + a 2 + k = 1 ∑ 5 ( 2 k + 1 ) = 7 + 10 + ( 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ) = 52 \[\begin{aligned}
q
&=a_1+a_2+\sum_{k=1}^{5}(2k+1)\\
&=7+10+(3+5+7+9+11)\\
&=52
\end{aligned}\] f(12)까지 넣어 최종값을 계산한다
f ( n ) = n 3 f(n)=\frac n3 f ( n ) = 3 n \(f(n)=\frac n3\) 이므로 f ( 12 ) = 4 f(12)=4 f ( 12 ) = 4 \(f(12)=4\) 이다. 또 p = 10 p=10 p = 10 \(p=10\) , q = 52 q=52 q = 52 \(q=52\) 이므로 문제에서 요구한 값은 다음과 같다.
p × q f ( 12 ) = 10 ⋅ 52 4 = 130 \frac{p\times q}{f(12)}
=\frac{10\cdot52}{4}
=130 f ( 12 ) p × q = 4 10 ⋅ 52 = 130 \[\frac{p\times q}{f(12)}
=\frac{10\cdot52}{4}
=130\] 따라서 정답은 130 130 130 \(130\) 이다.
다시 풀 때는 이 순서만 기억한다
부분합과 일반항이 함께 있는 조건은 S n + 1 − S n = a n + 1 S_{n+1}-S_n=a_{n+1} S n + 1 − S n = a n + 1 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 로 한 칸 밀어 빼면 항 사이 관계식이 나온다.
다만 계산을 시작하기 전에 최종 합을 먼저 펼쳐 보아야 한다. 이 문제에서는 홀수항 a 3 , a 5 , a 7 , a 9 , a 11 a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11} a 3 , a 5 , a 7 , a 9 , a 11 \(a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}\) 만 한 번 더 더해져서 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 2a_{2k+1}+a_{2k+2} 2 a 2 k + 1 + a 2 k + 2 \(2a_{2k+1}+a_{2k+2}\) 묶음이 필요했고, 그 묶음이 차분으로 얻은 2 a n + a n + 1 = n 2a_n+a_{n+1}=n 2 a n + a n + 1 = n \(2a_n+a_{n+1}=n\) 과 정확히 맞아떨어졌다.
마지막으로 관계식의 적용 범위를 확인한다. 2 a n + a n + 1 = n 2a_n+a_{n+1}=n 2 a n + a n + 1 = n \(2a_n+a_{n+1}=n\) 은 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 \(n\ge2\) 에서 나온 식이므로, a 2 a_2 a 2 \(a_2\) 는 원래 조건의 n = 2 n=2 n = 2 \(n=2\) 대입으로 따로 구해야 한다.
