들어가기 앞서…
이 문제는 g ( t ) g(t) g ( t ) \(g(t)\) 의 식을 직접 구하는 문제가 아니다. 먼저 거리 t t t \(t\) 가 원래 변수 s s s \(s\) 로 어떻게 표현되는지 잡고, 그 다음 t t t \(t\) -구간을 s s s \(s\) -구간으로 바꾸어 적분한다.
핵심은 접선이 y y y \(y\) 축과 만나는 점의 y y y \(y\) 좌표 이다. 이 값만 정확히 쓰면 복잡해 보이는 f ( s ) f(s) f ( s ) \(f(s)\) 가 거리 계산에서 사라진다.
문제
2026학년도 대학수학능력시험 수학 미적분 28번 문제 문제 텍스트 객관식 함수
f ( x ) = 1 2 x 2 − x + ln ( 1 + x ) f(x)=\frac12x^2-x+\ln(1+x) f ( x ) = 2 1 x 2 − x + ln ( 1 + x ) \[f(x)=\frac12x^2-x+\ln(1+x)\] 와 양수 t t t \(t\) 에 대하여 점 ( s , f ( s ) ) ( s > 0 ) (s,f(s))\,(s>0) ( s , f ( s )) ( s > 0 ) \((s,f(s))\,(s>0)\) 에서 y y y \(y\) 축에 내린 수선의 발과 곡선 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) \(y=f(x)\) 위의 점 ( s , f ( s ) ) (s,f(s)) ( s , f ( s )) \((s,f(s))\) 에서의 접선이 y y y \(y\) 축과 만나는 점 사이의 거리가 t t t \(t\) 가 되도록 하는 s s s \(s\) 의 값을 g ( t ) g(t) g ( t ) \(g(t)\) 라 하자.
∫ 1 2 27 4 g ( t ) d t \int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt ∫ 2 1 4 27 g ( t ) d t \[\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt\] 의 값은?
① 161 12 + ln 3 \frac{161}{12}+\ln 3 12 161 + ln 3 \(\frac{161}{12}+\ln 3\) ② 40 3 + ln 3 \frac{40}{3}+\ln 3 3 40 + ln 3 \(\frac{40}{3}+\ln 3\) ③ 53 4 + ln 2 \frac{53}{4}+\ln 2 4 53 + ln 2 \(\frac{53}{4}+\ln 2\) ④ 79 6 + ln 2 \frac{79}{6}+\ln 2 6 79 + ln 2 \(\frac{79}{6}+\ln 2\) ⑤ 157 12 + ln 2 \frac{157}{12}+\ln 2 12 157 + ln 2 \(\frac{157}{12}+\ln 2\)
정답
⑤
풀이
두 y축 위 점의 거리부터 구한다
점 ( s , f ( s ) ) (s,f(s)) ( s , f ( s )) \((s,f(s))\) 에서 y y y \(y\) 축에 내린 수선의 발은 ( 0 , f ( s ) ) (0,f(s)) ( 0 , f ( s )) \((0,f(s))\) 이다. 같은 점에서의 접선은
y = f ( s ) + f ′ ( s ) ( x − s ) y=f(s)+f'(s)(x-s) y = f ( s ) + f ′ ( s ) ( x − s ) \[y=f(s)+f'(s)(x-s)\] 이므로, 이 접선이 y y y \(y\) 축과 만나는 점의 y y y \(y\) 좌표는 x = 0 x=0 x = 0 \(x=0\) 을 넣은 f ( s ) − s f ′ ( s ) f(s)-s f'(s) f ( s ) − s f ′ ( s ) \(f(s)-s f'(s)\) 이다.
따라서 두 점 사이의 거리는 가로거리가 아니라 세로거리다. 거리식은 다음과 같이 정리된다.
∣ f ( s ) − { f ( s ) − s f ′ ( s ) } ∣ = ∣ s f ′ ( s ) ∣ \left|f(s)-\{f(s)-s f'(s)\}\right|=|s f'(s)| ∣ f ( s ) − { f ( s ) − s f ′ ( s )} ∣ = ∣ s f ′ ( s ) ∣ \[\left|f(s)-\{f(s)-s f'(s)\}\right|=|s f'(s)|\] 여기서 복잡한 함수값 f ( s ) f(s) f ( s ) \(f(s)\) 자체는 소거되고 f ′ ( s ) f'(s) f ′ ( s ) \(f'(s)\) 만 남는다.
수선의 발과 접선의 y절편이 모두 y축 위에 있음을 먼저 확인한다. 거리 조건을 t=h(s)로 바꾼다
이제 필요한 것은 f ′ ( s ) f'(s) f ′ ( s ) \(f'(s)\) 이다. 도함수는 다음과 같다.
f ′ ( x ) = x − 1 + 1 1 + x = x 2 1 + x f'(x)=x-1+\frac1{1+x}=\frac{x^2}{1+x} f ′ ( x ) = x − 1 + 1 + x 1 = 1 + x x 2 \[f'(x)=x-1+\frac1{1+x}=\frac{x^2}{1+x}\] 문제에서 s > 0 s>0 s > 0 \(s>0\) 이므로 f ′ ( s ) > 0 f'(s)>0 f ′ ( s ) > 0 \(f'(s)>0\) 이고, 따라서 s f ′ ( s ) > 0 s f'(s)>0 s f ′ ( s ) > 0 \(s f'(s)>0\) 이다. 거리에서 나온 절댓값은 이 부호 조건 때문에 제거된다.
앞으로
h ( s ) = s 3 1 + s h(s)=\frac{s^3}{1+s} h ( s ) = 1 + s s 3 \[h(s)=\frac{s^3}{1+s}\] 라고 두면 거리 조건은 t = h ( s ) t=h(s) t = h ( s ) \(t=h(s)\) 가 된다. 즉 g ( t ) g(t) g ( t ) \(g(t)\) 는 t = h ( s ) t=h(s) t = h ( s ) \(t=h(s)\) 를 만든 s s s \(s\) 를 되돌려 주는 함수이다.
t구간을 s구간으로 바꾼다
g ( t ) g(t) g ( t ) \(g(t)\) 의 닫힌식을 구하려면 3차방정식을 풀어야 한다. 하지만 정적분 구간의 끝값이 어떤 s s s \(s\) 에서 나오는지 먼저 대입해 보면 계산 방향이 보인다.
h ( 1 ) = 1 2 , h ( 3 ) = 27 4 h(1)=\frac12,\qquad h(3)=\frac{27}{4} h ( 1 ) = 2 1 , h ( 3 ) = 4 27 \[h(1)=\frac12,\qquad h(3)=\frac{27}{4}\] 따라서 적분 구간 [ 1 2 , 27 4 ] \left[\frac12,\frac{27}{4}\right] [ 2 1 , 4 27 ] \(\left[\frac12,\frac{27}{4}\right]\) 은 s = 1 s=1 s = 1 \(s=1\) 부터 s = 3 s=3 s = 3 \(s=3\) 까지 움직이는 구간일 가능성이 있다. 이 대응을 확정하려면 h h h \(h\) 가 중간에서 되돌아가지 않는지 확인하면 된다.
h ′ ( s ) = 3 s 2 ( 1 + s ) − s 3 ( 1 + s ) 2 = s 2 ( 2 s + 3 ) ( 1 + s ) 2 h'(s)=\frac{3s^2(1+s)-s^3}{(1+s)^2}
=\frac{s^2(2s+3)}{(1+s)^2} h ′ ( s ) = ( 1 + s ) 2 3 s 2 ( 1 + s ) − s 3 = ( 1 + s ) 2 s 2 ( 2 s + 3 ) \[h'(s)=\frac{3s^2(1+s)-s^3}{(1+s)^2}
=\frac{s^2(2s+3)}{(1+s)^2}\] s > 0 s>0 s > 0 \(s>0\) 에서 h ′ ( s ) > 0 h'(s)>0 h ′ ( s ) > 0 \(h'(s)>0\) 이므로 h h h \(h\) 는 증가함수이다. 그러므로 이 구간에서 t t t \(t\) 하나는 s s s \(s\) 하나에만 대응한다.
끝값 대입과 증가성으로 t구간을 s구간으로 바꾼다. g(t) 대신 s를 적분한다
앞에서 h h h \(h\) 가 증가함을 확인했으므로 t = h ( s ) t=h(s) t = h ( s ) \(t=h(s)\) 로 놓고 움직일 때 그 t t t \(t\) 에 대응하는 값은 바로 g ( h ( s ) ) = s g(h(s))=s g ( h ( s )) = s \(g(h(s))=s\) 이다. 또한 d t = h ′ ( s ) d s dt=h'(s)\,ds d t = h ′ ( s ) d s \(dt=h'(s)\,ds\) 이므로 원래 적분은 다음과 같이 바뀐다.
∫ 1 2 27 4 g ( t ) d t = ∫ 1 3 g ( h ( s ) ) h ′ ( s ) d s = ∫ 1 3 s h ′ ( s ) d s \int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt
=\int_1^3 g(h(s))h'(s)\,ds
=\int_1^3 s h'(s)\,ds ∫ 2 1 4 27 g ( t ) d t = ∫ 1 3 g ( h ( s )) h ′ ( s ) d s = ∫ 1 3 s h ′ ( s ) d s \[\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt
=\int_1^3 g(h(s))h'(s)\,ds
=\int_1^3 s h'(s)\,ds\] 이 적분은 부분적분으로 줄이면 계산이 짧다.
∫ 1 3 s h ′ ( s ) d s = [ s h ( s ) ] 1 3 − ∫ 1 3 h ( s ) d s \int_1^3 s h'(s)\,ds
=\left[s h(s)\right]_1^3-\int_1^3 h(s)\,ds ∫ 1 3 s h ′ ( s ) d s = [ s h ( s ) ] 1 3 − ∫ 1 3 h ( s ) d s \[\int_1^3 s h'(s)\,ds
=\left[s h(s)\right]_1^3-\int_1^3 h(s)\,ds\] 경계항은 다음과 같다.
[ s h ( s ) ] 1 3 = 3 ⋅ 27 4 − 1 ⋅ 1 2 = 79 4 \left[s h(s)\right]_1^3
=3\cdot\frac{27}{4}-1\cdot\frac12
=\frac{79}{4} [ s h ( s ) ] 1 3 = 3 ⋅ 4 27 − 1 ⋅ 2 1 = 4 79 \[\left[s h(s)\right]_1^3
=3\cdot\frac{27}{4}-1\cdot\frac12
=\frac{79}{4}\] 치환과 부분적분을 쓰면 g(t)의 식을 직접 풀지 않아도 된다. 남은 적분 하나만 정리한다
이제 남은 적분은 ∫ 1 3 h ( s ) d s \int_1^3 h(s)\,ds ∫ 1 3 h ( s ) d s \(\int_1^3 h(s)\,ds\) 이다. 분수식을 나누면 다음과 같다.
s 3 1 + s = s 2 − s + 1 − 1 s + 1 \frac{s^3}{1+s}=s^2-s+1-\frac1{s+1} 1 + s s 3 = s 2 − s + 1 − s + 1 1 \[\frac{s^3}{1+s}=s^2-s+1-\frac1{s+1}\] 따라서 남은 적분값은 다음과 같다.
∫ 1 3 h ( s ) d s = ∫ 1 3 ( s 2 − s + 1 − 1 s + 1 ) d s = [ s 3 3 − s 2 2 + s − ln ( s + 1 ) ] 1 3 = 20 3 − ln 2 \begin{aligned}
\int_1^3 h(s)\,ds
&=\int_1^3\left(s^2-s+1-\frac1{s+1}\right)\,ds\\
&=\left[\frac{s^3}{3}-\frac{s^2}{2}+s-\ln(s+1)\right]_1^3\\
&=\frac{20}{3}-\ln 2
\end{aligned} ∫ 1 3 h ( s ) d s = ∫ 1 3 ( s 2 − s + 1 − s + 1 1 ) d s = [ 3 s 3 − 2 s 2 + s − ln ( s + 1 ) ] 1 3 = 3 20 − ln 2 \[\begin{aligned}
\int_1^3 h(s)\,ds
&=\int_1^3\left(s^2-s+1-\frac1{s+1}\right)\,ds\\
&=\left[\frac{s^3}{3}-\frac{s^2}{2}+s-\ln(s+1)\right]_1^3\\
&=\frac{20}{3}-\ln 2
\end{aligned}\] 그러므로 원래 적분값은 다음과 같다.
∫ 1 2 27 4 g ( t ) d t = 79 4 − ( 20 3 − ln 2 ) = 157 12 + ln 2 \int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt
=\frac{79}{4}-\left(\frac{20}{3}-\ln 2\right)
=\frac{157}{12}+\ln 2 ∫ 2 1 4 27 g ( t ) d t = 4 79 − ( 3 20 − ln 2 ) = 12 157 + ln 2 \[\int_{\frac12}^{\frac{27}{4}}g(t)\,dt
=\frac{79}{4}-\left(\frac{20}{3}-\ln 2\right)
=\frac{157}{12}+\ln 2\] 따라서 정답은 ⑤이다.
원래 조건으로 빠르게 확인한다
s = 1 s=1 s = 1 \(s=1\) 이면 t = 1 3 1 + 1 = 1 2 t=\frac{1^3}{1+1}=\frac12 t = 1 + 1 1 3 = 2 1 \(t=\frac{1^3}{1+1}=\frac12\) 이고, s = 3 s=3 s = 3 \(s=3\) 이면 t = 3 3 1 + 3 = 27 4 t=\frac{3^3}{1+3}=\frac{27}{4} t = 1 + 3 3 3 = 4 27 \(t=\frac{3^3}{1+3}=\frac{27}{4}\) 이다. 적분 구간의 양 끝이 정확히 맞는다.
또 h ′ ( s ) > 0 h'(s)>0 h ′ ( s ) > 0 \(h'(s)>0\) 이므로 1 ≤ s ≤ 3 1\le s\le3 1 ≤ s ≤ 3 \(1\le s\le3\) 에서 같은 t t t \(t\) 를 만드는 다른 s s s \(s\) 가 끼어들지 않는다. 마지막으로 결과는 선택지 ⑤의 157 12 + ln 2 \frac{157}{12}+\ln 2 12 157 + ln 2 \(\frac{157}{12}+\ln 2\) 와 일치한다.
